数列与数学归纳法一、填空题（杨浦区2013文理）1. 计算：=+∞→133lim nnn ．1 1. 计算：= 3.4、已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则n a a a +++Λ21 =221-+n(2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a =(2014年1月青浦)已知lim(1)1nn q →∞-=，则实数q 的取值范围是 11q -<< ．221lim 2n n n n →∞+=-____12_______. 已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___32n -________.5．已知为等差数列，其前项和为．若，35a =，64n S =，则n = 8 ．10、数列()*241N n a a n n ∈+-=+，如果{}n a 是一个等差数列，则=1a 3 6. 如果()那么共有28项. 4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．158．若等差数列的首项为2，公差为，其前项和满足：对于任意的，都有是非零常数．则 ．4 8．若公差为的等差数列的项数为奇数，，的奇数项的和是175，偶数项 的和是150，则 ．410．函数xa y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2nn a a a Λ______111．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________0210lim 323x n n →∞++{}n a n n S 11a =()1111112312n f n n n =++++++++L L *n N ∈()()1f k f k +-{}n a )0(≠d d n n S *∈N n nnS S 2=d d {}n a 11=a {}n a =d5、数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a ⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n 11、已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c nb n ∈=则数列{}nc 的前10项和等于____85__.（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）8、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．412、已知数列{a n }(n *N ∈)的公差为3，从{a n }中取出部分项（不改变顺序）a 1,a 4,a 10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是 . 答案：（文）2；4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．1510．若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+---∞,31]1,(Y 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n14、定义：{}123min ,,,,n a a a a L 表示123,,,,n a a a a L 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤L 成立，则常数k 的取值范围是]0,21[-．13．给出下列等式：，，，…，现设（，），则 【 C 】 233321=+23336321=++23333104321=+++23333321n a n =+⋅⋅⋅+++*∈N n 2≥n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++∞→n n a a a 111lim 32图（1）图（2） 图（3）……A ．B ．C ．D ．二、选择题(2014年1月青浦)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足15160,0,S S ><则3151212315,,,,S S S S a a a a L 中最大的项为（C ） A.66S a B.77S a C.88S a D.99Sa 13．给出下列等式：，，，…，现设（，），则 【 C 】A ．B ．C ．D ．（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）17、在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．B.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π18、**设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（ ）A（A）2（B ）12（C ） 0 （D ）1三、解答题（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）21、（本题满分14分）数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．4210233321=+23336321=++23333104321=+++23333321na n =+⋅⋅⋅+++*∈N n 2≥n =∞→nn a n 2lim 012421、（14分）解：（1） 由⎩⎨⎧=⋅-=+864361a a a a ⎩⎨⎧=⋅-=+⇒864343a a a a ，得3a 、4a 是方程0862=++x x 的二个根，Θ21-=x ，42-=x ，此等差数列为递增数列，∴43-=a ，24-=a ，公差2=d ，81-=a ．102-=∴n a n（2）Θn n a a n S n n 92)(21-=+=，481)29(2--=n S n ， ∴20)(54min -===S S S n（3）由0≥n a 得0102≥-n ，解得5≥n ，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当51≤≤n 且*∈N n 时，n n S a a a a a a T n n n n 9)(22121+-=-=+++-=+++=ΛΛ．当6≥n 且*∈N n 时，5652165212)()(S S a a a a a a a a a a T n n n n -=++++++-=++++++=ΛΛΛΛ4092+-=n n ．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分6分.设无穷数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n (*n N ∈),且3tS n -(2t+3)S n-1（*n N ∈，n ≥2)(t 是与n 无关的正实数）（1）求证：数列{a n }（*n N ∈）为等比数列； （2)记数列{a n }的公比为f(t),数列{b n }满足b 1=1,b n =f(1b 1-n )（*n N ∈，n ≥2),设C n =b 2n-1b 2n -b 2n b 2n+1,求数列.（3）若（2）中数列{Cn}的前n 项和T n 当*n N ∈时不等式a ≤n T 恒成立，求实数a 的取值范围。

22. （1）由已知，有，当时，；………………………2分当时，有，两式相减，得，即，综上，，故数列是公比为的等比数列；…………4分（2）由（1）知，，则，于是数列是公差的等差数列，即，……………………7分则=……………………10分（3）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则．………………………14分………………………16分（杨浦区2013文）22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时故72=a ……4分(2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n ……6分得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分 即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分 ,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分 (3) 由（2）得n n nn b b 311,3== ……11分 8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分 故 813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分 （杨浦区2013理）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.设是数列的前项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中n S {}n a nk 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<L ．若存在，求数列的首项1a 的所 有取值构成的集合；若不存在，说明理由．23【解】 （理科） 解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得 n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++L ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++L ， ④ ④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分{}n a {}n a {}n a∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分 又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈， 都有123111111112n S S S S S ++++≥>L .…….13分 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+， 则1231111111n S S S S n ++++=-+L ， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++L 1118<， …….15分 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++L ， …….16分 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分 所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）{}n a(理)23、已知数列{}n a 的各项均不为零，m a a ==21,1，且对任意*n N ∈，都有c a a a n n n +=++221．（1）设,1=c 若数列{}n a 是等差数列，求m ；（5分） （2）设,1=c 当*,2N n n ∈≥时，求证：nn n a a a 11-++是一个常数；（6分）（3）当()21+=m c 时，求数列{}n a 的通项公式（7分） 23. 解：(1) 由题意得：112-=-=m a a d 1分()()()()()111,11,11121-++=-+=--+=++m n a m n a m n a n n n 2分,1221+=++n n n a a a[][]()[]11)1(1)1)(1(1)1(12+-++--+=-+∴m n m n m n 3分2=∴m 5分（2）计算123-=m a ，m a a a =+231，猜想m a a a nn n =++-11 7分 欲证明m a a a nn n =++-11恒成立只需要证明1211+++-+=+n n n n n n a a a a a a 恒成立 即要证明()()2111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明222111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立 （***） 9分1,1,1212211221-=-=∴+=++-+++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ 10分 （***）左边=21221111++-++-=+n n n n n a a a a a （***）右边=1212-++n n a a所以(***)成立 11分方法二：计算123-=m a ，m a a a =+231，猜想m a a a nn n =++-11 7分 1,1112221+=+=+-++n n n n n n a a a a a a112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a 9分由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +， 得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥ 所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L 11分所以m a a a nn n =++-11 是常数 11分（3）计算123-=m a ，212231-=-+=+mcm a a a ，类比猜想211-=++-nn n a a a 12分c a a a c a a a n n n n n n +=+=+-++112221, 112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +， 得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥ 所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L所以211-=++-nn n a a a 是常数 13分所以211-=++-nn n a a a 14分()()011=++++-n n n n a a a a ()()n n n n a a a a +-=++-11()()1111+-=+∴-+m a a n n n()()23,12,,14321+=+-===∴m a m a m a a猜想()()[])2(11-+--=∴n m n a nn 15分用数学归纳法证明： 时，成立，显然1=n 假设()()[]成立，时，21)1(-+--==k m k a k n kk则()111(1)1k k k n k a m a -+=+=-+-时，()()()11(1)(1)12k k m k m k -=-+---+-⎡⎤⎣⎦()()[])2(1)1(111-+-++-=∴-+k m k m a k k()[])1(111-+-=∴-+k km a k k ()[])1(11-+-=+k km k 17分所以对一切 ()()[]成立，时，21)1(-+--=∈n m n a N n nn 18分(文)23、已知数列{}n a 的各项均为正数，m a a ==21,1，且对任意*n N ∈，都有c a a a n n n +=++221．数列{}n a 前n 项的和n S .（1）若数列{}n a 是等比数列，求c 的值和nnn Sa lim ∞→（7分）；（2）若数列{}n a 是等差数列，求m 与c 的关系式（5分）； （3）,1=c 当*,2N n n ∈≥时，求证：nn n a a a 11-++是一个常数（6分）；23. 解：(1)由题意得：m a a q ==121-=∴n n m a 1分 0,112=∴+=∴+-c c m m m n n n 2分因为数列{}n a 的各项均为正数，所以0m > 当1m =时，1,==∴n n a n S ，0lim =∴∞→n nn S a 4分 当0m >且1m ≠时，1,1nn m S m-∴=- 5分()nn n n mm m S a --=∴-1116分 当01m <<时lim0nn na S →∞=当1m >时111n n n a mS m m --=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以1lim n n na m S m →∞-= 001lim 11n n n m a m S m m→∞<≤⎧⎪∴=-⎨>⎪⎩ 7分 (2)由题意得：112-=-=m a a d 8分()()()()()111,11,11121-++=-+=--+=++m n a m n a m n a n n n 9分,221c a a a n n n +=++[][]()[]c m n m n m n +-++--+=-+∴1)1(1)1)(1(1)1(1210分()21-=∴m c 12分（3）计算123-=m a猜想m a a a n n n =++-11 14分欲证明m a a a nn n =++-11恒成立只需要证明1211+++-+=+n n n n n n a a a a a a 恒成立 即要证明()()2111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立即要证明222111++-++=+n n n n n n a a a a a a 恒成立 （***）1,1,1212211221-=-=∴+=++-+++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ （***）左边=21221111++-++-=+n n n n n a a a a a（***）右边=1212-++n n a a所以(***)成立 18分方法二：计算123-=m a猜想m a a a nn n =++-11 14分1,1112221+=+=+-++n n n n n n a a a a a a 112221+-++-=-n n n n n n a a a a a a221121++-++=+n n n n n n a a a a a a由于0≠n a ，上式两边同除以1n n a a +， 得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====L所以m a a a nn n =++-11 是常数 18分23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”： ①；②.（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q 及的通项公式； （2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为：（i ）求证：； （ii ）若存在使，试问数列能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.12,,,n a a a L ()2,3,4,n n =L 1230n a a a a ++++=L 1231n a a a a ++++=L {}n a ()2*k k N ∈{}n a {}n a ()2*k k N ∈{}i a ()1,2,3,,k S k n =L 12k S ≤{}1,2,3,,m n ∈L 12m S ={}k S23、（本题满分18分，其中（1）小题满分4分，（2）小题满分6分，（3）小题满分8分） 由函数)(x f y =确定数列{}n a ，)(n f a n = .若函数)(1x fy -=能确定数列{}n b ，)(1n fb n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”.（1）若函数x x f 2)(=确定数列{}n a 的反数列为{}n b ，求.n b ； （2）对（1）中的{}n b ，不等式)21(log 21111221a b b b a n n n ->+++++Λ对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设)12(2)1(132)1(1-⋅--+⋅-+=n c n n λλ（λ为正整数），若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t （公共项q p k d c t q p k ,,,==为正整数），求数列{}n t 的前n 项和n S .23、解： （1）)0(4)(21≥=-x x x f ，则)(42*∈=N n n b n ；…………4分（2）不等式化为：)21(log 21222212a n n n a ->+++++Λ，…………5分 设n n n T n 222212+++++=Λ，因为02221221>+-+=-+n n T T n n ，所以{}n T 单调递增， …………7分则1)(1min==T T n 。