第四章 线性方程组一、本章知识串讲线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0A x =总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Ax b =要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.二、大纲考查要点诠释 1．线性方程组的各种表达形式11112211211222221122,,n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （4.1）可用矩阵乘法表示为：.A x b = （4.2）如果对系数矩阵A 按列分块，方程组有向量形式1122.n n x x x b ααα+++= （4.3） 2．齐次方程组0A x =恒有解（必有零解）当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0A x =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),n r A -解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.3．如12,,,t ηηη 是0A x =的基础解系，即12,,,t ηηη 是0A x =的解，12,,,t ηηη 线性无关，且().t n r A =- （4.4）1122t t k k k ηηη+++ 是0A x =的通解.基础解系中解向量的个数是(),()n r A n r A --也是方程组自由变量的个数.求基础解系时，可对A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有()r A 个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()n r A -个），对自由变量按阶梯形适当赋值后，再代入求解就可得到基础解系. 【例4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为121315423-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭则()532,n r A -=-=基础解系由2个向量组成.此时134,,x x x 是主元，25,x x 是自变量，因而可赋值为 12(,1,,,0),(,0,,,2).TTηη==由下往上代入求解，得12(0,1,0,0,0),(3,0,3,3,2).TTηη==-【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,ηη必线性无关，在2η中令52,x =是考虑4x 的系数是2，为回避分数运算而设定的，通常是令5 1.x =要理解基础解系，能正确迅速求解.4．齐次方程组有非零解的判定【定理4.1】设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是(),r A n <亦即A 的列向量线性相关.特别地，【定理4.2】如A 是n 阶矩阵，0A x =有非零解的充要条件是0.A =【定理4.3】0A x =有非零解的充分条件是m n <（即方程个数<未知数个数）.【注意】如0,AB =则B 的每一列都是0A x =的解，当0B ≠时，蕴涵0A x =有非零解，进而有()().r A r B n +≤齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列向量的个数），【定理4.2】用行列式是有条件的，不要混淆，而【定理4.3】反映的是任意1n +个n 维向量必定线性相关，亦说明n 维向量的集合至多有n 个向量线性无关.5．非齐次线性方程组有解的判定【定理4.4】设A 是m n ⨯矩阵，线性方程组A x b =有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵A 的秩，即()()r r A =A （或者说，b 可由A 的列向量12,,,n ααα 线性表出，亦等价于12,,,n ααα 与是等价向量组）.【定理4.5】设A 是m n ⨯矩阵，方程组.A x b =（1）有唯一解()().r r n ⇔A =A = （4.5） （2）有无穷多解()().r r n ⇔A =A < （4.6） （3）无解()1().r r ⇔A +=A （4.7） 6．非齐次线性方程组解的结构【定理4.6】如n 元线性方程组x b A =有解，设12,,,t ηηη 是相应齐次方程组0x A =的基础解系，ξ是x b A =的一个解，则1122t t k k k ηηηξ++++ 是x b A =的通解.【注意】（1）如12,ξξ是x b A =的解，则12ξξ-是0x A =的解.（2）如ξ是x b A =的解，是0x A =的解，则k ξη+仍是x b A =的解.（3）如x b A =有唯一解，则0x A =只有零解；反之，当0x A =只有零解时，x b A =没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.7．克莱姆（Cramer ）法则线性方程组11112211211222221122.,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果系数行列式0,D =A ≠则方程组有唯一解，即 1212,,,,n n D D D x x x D C D===（4.8）其中j D 是把D 中j x 的系数换成常数项. 三．典型题型分析及解题方法与技巧题型（一）线性方程组解的基本概念【例4.2】设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则线性方程组()0x AB = （A ）当m n >时仅有零解 （B ）当m n >时必有非零解（C ）当n m >时仅有零解 （D ）当n m >时必有非零解（02年数3） 【分析】矩阵乘积的秩不超过每个因子矩阵的秩。

【答案】AB 是m m ⨯矩阵，因而线性方程组()0x AB =的未知数个数为m 。

另一方面，由()n m r ,min )(≤A 秩，()n m r ,min )(≤B ，()(B)A AB r r r ),(min )(≤及（D ）中的条件n m >得()n n m r <≤,min )(AB于是，由有解判别定理得知线性方程组()0x AB =必有非零解，即（D ）正确，同时得知（C ）是错误的。

同样的推理可知：（A ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r <)(AB 时就有非零解； （B ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r =)(AB 时就只有零解。

【例 4.3】设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]）（04年数3） 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【例4.4】A 是n 阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x A =（1）如A 中每行元素之和均为0，且()1,r n A =-则方程组的通解是 . （2）如每个n 维向量都是方程组的解，则()______.r A =（3）如()1,r n A =-，且代数余子式110,A ≠则0x A =的通解是 ，*0x A =的通解是 ，**()0x A =的通解是 .【分析】（1）从()1,r n A =-知0x A =的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为0，有12121110,i i in i i in a a a a a a +++=+++=所以，(1,1,,1)T 满足每一个方程，是0x A =的解，故通解是(1,1,,1).T k（2）每个n 维向量都是解，因而有n 个线性无关的解，那么解空间的维数是n ，又因解空间维数是(),n r -A 故(),n n r =-A 即()0.r A =（3）对0x A =，从()1,r n A =-知解空间是1维的.因为**0,AA =A 的每一列都是0x A =的解.现已知110,A ≠故11121(,,,)Tn A A A 是0x A =的非零解，即是基，所以通解是对*0,x A =从()1r n A =-知*()1r A =（参看【例2.28】），那么*0x A =的解空间是*()1n r n -A =-维，从*0A A =知A 的每一列都是*0x A =的解，由于代数余子式110,A ≠知1n -维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)T T Tn n n n nn a a a a a a a a a线性无关，那么延伸为n 维向量122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)TTTn n n n nn a a a a a a a a a仍线性无关，即是*0x A =的基础解系，通解略.对**()0x A =，同上知*()1,r A =由于当3n ≥时，**(())0,r A =那么任意n 个线性无关的向量都可构成基础解系.例如，取12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)TTTn e e e ===得通解1122.n n k e k e k e +++如2,n =对于11122122,a a a a ⎛⎫A =⎪⎝⎭有2212*2111.a a a a -⎛⎫A = ⎪-⎝⎭于是1112**2122(),a a a a ⎛⎫A ==A⎪⎝⎭那么**()0x A =的通解是2221a k a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭（注：*11220,0,()1a r AA =A =≠A =）. 【例4.5 】选择题（1）对于n 元方程组，下列命题正确的是（ ）. （A ）如0x A =只有零解，则x b A =有唯一解 （B ）如0x A =有非零解，则x b A =有无穷多解 （C ）如x b A =有两个不同的解，则0x A =有无穷多解 （D ）如x b A =有唯一解的充要条件是()r n A =（2）已知1234,,,ηηηη是0x A =的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（ ）. （A ）12233441,,,ηηηηηηηη++++ （B ）1234,,,ηηηη的等价向量组1234,,,αααα （C ）1234,,,ηηηη的等秩向量组1234,,,αααα （D ）12233441,,,ηηηηηηηη++--（3）已知12,ββ是x b A =的两个不同的解，12,αα是相应齐次方程组0x A =的基础解系，12,k k 是任意常数，则x b A =的通解是（ ）.（A ）1211212()2k k ββααα-+++ （B ）1211212()2k k ββααα++-+（C ）1211212()2k k ββαββ-+++（D ）1211212()2k k ββαββ++-+【例4.6】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)T T Tξξξ=-=-=--是方程组1122334411223442123443,32,94.a x a x a x a x d xb x x b x d x x xc xd +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 的三个解，求此方程组的通解.【分析】求x b A =的通解关键是求0x A =的基础解系，1223,ξξξξ--都是0x A =的解，现在就要判断秩()r A ，以确定基础解系中向量的个数.【解】A 是34⨯矩阵，()3,r A ≤由于A 中第二、三两行不成比例，故()2,r A ≥又因是0x A =的两个线性无关的解，所以4()2,r -A ≥因此()2r A =，所以11122k k ξηη++是通解.【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,ξξξξ--或3132,ξξξξ--等都可构成解空间的基，123,,ξξξ都是特解，本题答案不唯一.【例4.7】设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-++=-+020324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为()Ta 1,2,1,2+-=1α，()Ta 8,4,2,12+-=α（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。