2018届高三数学训练题（65）：椭圆的几何性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( ) A ．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x -= 2．已知0<θ<π4,则双曲线C 1:22sin x θ22cos y θ-=1与C 2:22cos y θ-22sin x θ=1的( ) A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．已知l 是双曲线C ：22124x y -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左，右焦点，若120PF PF ⋅=，则点P 到x 轴的距离为( )A ．3 BC ．2D4．已知点()1F ，)2F ，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标为12时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．2B ．32C D ．25．已知双曲线22221y x a b-=(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为( )A ．221916y x -= B ．22143y x -=C ．221169y x -= D ．22134y x -= 6．设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A ．192B ．11C ．12D ．167．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PFF △的面积等于 A．B．C ．24 D ．488．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、填空题9．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的离心率e 是2，则此时b 2+13a 的最小值是_____.10．以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是1F ，2F ，已知点M 的坐标为()21，，双曲线C 上的点()()000000P x y x y >>，，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -=______．11．圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________． 12．称离心率为e =√5+12的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)为黄金双曲线．如图是双曲线x2 a2−y2b2=1(a>0,b>0,c=√a2+b2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x22√5+1=1是黄金双曲线；②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为参考答案1．B【解析】依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 【考点定位】考查双曲线方程．2．D【详解】∵0<θ<4π，∴sinθ<cosθ.由双曲线C 1：22sin x θ－22cos y θ＝1知实轴长为2sinθ，虚轴长为2cosθ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：22cos y θ－22sin x θ＝1知实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为1cos θ.可得焦距相等，故选D.3．C【解析】由题意知()1F ，)2F ，不妨设l 的方程为y =，点()00P x ，由())21200000,,360PF PF x x x ⋅=-⋅=-=，得0x =故点P 到x 02=，故选C.4．A【解析】由已知可得动点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支，且c =1a ＝，∴1b ＝，∴双曲线方程为()2211x y x -=≤-，将12y =代入上式，可得点P 的横坐标为x =，∴点P =，故选A. 5．A【解析】由题意可知5c =，∴22225a b c +==，①，又点()4,3在a y x b=上，故34a b =，②，由①②解得3a ＝，4b ＝，∴双曲线的方程为221916y x -=，故选A. 点睛：本题考查双曲线的及圆的有关知识，求解的关键是借助圆与双曲线的渐近线的交点得出a ，b ，c 的等量关系，是比较基础的题；由已知条件推导出以12F F 为直径的圆的半径为5c =，将点代入到渐近线方程中构造出方程组，由此能求出双曲线的方程.6．B 【解析】由24x -23y =1知a 2=4,b 2=3,∴c 2,∴F 12(,0),又点A 、B 在双曲线左支上,∴|AF 2|-|AF 1|=4,|BF 2|-|BF 1|=4,∴|AF 2|=4+|AF 1|,|BF 2|=4+|BF 1|,∴|AF 2|+|BF 2|=8+|AF 1|+|BF 1|.要求|AF 2|+|BF 2|的最小值,只要求|AF 1|+|BF 1|的最小值,而|AF 1|+|BF 1|最小为2×32=3. ∴(|AF 2|+|BF 2|)min =8+3=11.故选B.7．C【分析】先由双曲线的离心率求出a 与c ，可得1210F F =，再由1234PF PF =，结合双曲线的定义求出128,6PF PF ==，由此能求出12PF F ∆的面积. 【详解】∵1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，∴ 5c e a ===， 解得21a =，5c ∴=，∴ 12210F F c ==，1234PF PF =， 且由双曲线的性质知1222241233PF PF PF PF PF -=-==, ∴ 128,6PF PF ==,1290F PF ︒∴∠=,∴ 12PF F 的面积168242=⨯⨯=.故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．C【解析】试题分析：过A 斜率为一1的直线方程，渐近线方程为，交点 横坐标分别为，点的横坐标为，A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列， 所以，所以，所以，故. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．9．2√33【解析】试题分析：由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是2，可得c a =2，所以a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=4，所以b 2=3a 2，则3a 2+13a =a +13a ≥2√a ⋅13a =2√33，当且仅当a =13a ，即a =√33时等号成立.考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质、基本不等式求最值、双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据双曲线的离心率，得到b 2=3a 2，代入利用基本不等式求最值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题. 10．2【解析】 双曲线方程22145x y -=，124PF PF -=，由12211112PF PF F F MF PF F F ⋅⋅=可得1112111112F P F MF F F MMF F P MF F F ⋅⋅=⋅⋅，得1F M 平分12PF F ∠，而111tan 5MA MF A F A ∠==，∴112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∠===-∠-，∴直线1F P 的方程为()5312y x =+，即512150x y -+=，联立22512150 145x y x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2PF x ⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，∴245MF O ∠=︒，即M 为12PF F △内切圆的圆心．故121211()141222PMF PMF S S PF PF -=⨯=⨯⨯=－，故答案为2. 点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查了向量在向量方向上的投影，考查计算能力，是中档题；由题意求出双曲线方程，再由向量等式可得1F M 平分12PF F ∠，求出PF 1所在直线的斜率，得到PF 1所在直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，求出P 的坐标，进一步说明M 为12PF F △内切圆的圆心，然后由三角形面积差结合双曲线定义求得答案.11221= 【解析】设双曲线的方程为()222210,0x y a ba b-=>>，(,)(0,0)C x y x y ''''，||(0BC t t =<<，如图，连接AC ，∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，作CE AB ⊥于E ，则2·BC BE BA =，∴()242t y =-'，即2124y t =-'，∴梯形的周长422l t y =++'21282t t =-++()212102t =--+，∴当2t ＝时，l 最大，此时，2BC ＝，AC =C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点，∴2AC BC a -=，即22A =，∴31a，∴2b =221=221=. 12．①②③④【解析】试题分析：对于①，双曲线的标准方程为x 22√5+12=1，则a 2=1,b 2=√5+12,c 2=√5+32， ∴e =c a =√√5+32=√5+12，满足 对于②，b 2=ac ⇒c 2−ac −a 2=0⇒e 2−e −1=0，所以e =1+√52或e =1−√52（舍去）故满足对于③ ∵，|B 1F 1|2+|A 2B 1|2=|F 1A 2|2 ∴(c 2+b 2)+(a 2+b 2)=(a +c)2⇒b 2=ac ，由②可得，满足对于④，由双曲线的对称性，可得|OF 2|=|NF 2|，∴c =b 2a ⇒b 2=ac ，由②可得，满足， 综上，正确的有①②③④考点：本题考查双曲线的几何性质点评：解决本题的关键是掌握双曲线的几何性质，求离心率必须建立a,b,c 的关系。