由拉格朗日方程
d T T ( ) Qk 得 d t qk qk
( m1 m 2 ) 1 m 2 l cos m 2 l 2 sin 0 x
M1-14
同理：
T m 2 l 2 m 2 lx1 cos
T m 2 lx1 sin
M1-17
代入拉氏方程：
1 2 P 9Q ( R r )2 0 M 6 g 6M g 2 ( 2 P 9 Q )( R r )
积分，得：

3M gt 2 C 1t C 2 ( 2 P 9 Q )( R r ) 2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C 1 C 2 0
y1 0 y1 0
y 2 l cos y 2 l sin
求导：
x 2 x1 l cos
系统动能：
T 1 1 2 2 m1 x12 m 2 ( x 2 y 2 ) 2 2 m 2l 1 2 ( m1 m 2 ) x1 ( l 2 2 x1 cos ) 2 2
系统。取x , 为广义坐标，
x 轴 原点位于弹簧自然长度 位置， 逆时针转向为正。
M1-19
系统动能：
2 v B ( x l cos ) 2 ( l sin ) 2
x 2 l 2 2 2 xl cos
1 2 1 m 2 v B 2 1 m1 x 2 1 m 2 ( x 2 l 2 2 2 xl cos ) T m1 x 2 2 2 2 1 2 1 m 2 l 2 2 m 2 xl cos ( m1 m 2 ) x 2 2
M1-20
系统势能：
(以弹簧原长为弹性势能零点， 滑块A所在平面为重力势能零
n
d d t qk


n
i 1
1 2 mi vi q 2 k

i 1
1 m i v i2 2
d T T d t qk qk
M1-3
由
Q k m i ri
i 1 n
ri qk
k 1, 2, N
可得
d T T Qk d t qk qk
n
d ri mi ri q k dt i 1
n
ri m i ri q k
i 1
n
ri d m i ri dt qk qk i 1

n
i 1
1 m i ri ri 2
M1-4
T qk
2. 保守体系的拉格朗日方程
如果主动力都是保守力，即 F V ，则为广义力
n r V ri V i Q k Fi qk ri q k qk i 1 i 1
n
Qk

i 1
n
r Fi i qk
xi y i zi Q j (X i Yi Zi ) q j q j q j i 1
n
或
Qj
W qj
( j)
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9
[例] 物块C的质量为m1，A，B两轮
r [ ( Fi m i i )
k 1 i 1
N
n
ri ] q k 0 qk
因qk是独立的，所以
ri r ( Fi m i i ) q k 0
i 1 n
k 1, 2, N
注意广义力可得
M1-1
注意到广义力可得
ri Q k m i ri qk
M1-11
注意到
k 0 m1 g
可得系统的运动微分方程
( m1 2 m 2 ) kx 0 x
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程。 解：图示机构为两个自由度，取x1， 为广义坐标，则有。
x 2 x1 l sin
３—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri ri qk qk k 1
N
i 1, 2, 3, n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
r ( Fi m i i )
i 1 n N k 1
ri qk qk
m1 2 m 2 2 x 2
系统的拉格朗日函数（动势）
L T V
m1 2 m 2 2 1 x k ( 0 x ) 2 m1 gx 2 2
代入拉格朗日方程
d L L ( ) 0 d t qk qk
( m1 2 m 2 ) k ( 0 x ) m1 g 0 x
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk

n
n
i 1
ri Fi qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
T
pk

i 1
1 m i v i2 ——体系相对惯性系的动能 2
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
i 1
n
k 1, 2, N
上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。 拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项， 使之与系统的动能的变化联系起来。
ri r ( Fi m i i ) q k 0
M1-15
[例] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O
点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿
轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0 位置。系杆OA 受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。 解：图示机构只有一个自由度， 所
受约束皆为完整、理想、定常的，可
和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数
学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2, , k ) ，计算公式为：
xi yi zi Fix q Fiy q Fiz q i 1 k k k
n
V xi V yi V zi V xi qk yi qk zi qk qk i 1
n
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式，得
d T T V ( ) 0 d t qk qk qk
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L ( qk , qk , t )
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。 保守体系的拉格朗日方程为：
d L L ( ) 0 d t qk qk
故：
3M gt 2 ( 2 P 9 Q )( R r )
2
M1-18
例：与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水
平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2。
试列出该系统的运动微分方程。 解：将弹簧力计入主动力， 则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守
1 2 P 9Q ( R r )2 2 12 g
W
Q
( )
T 1 2 P 9Q ( R r )2 6 g
W ( ) M
M
d T 1 2 P 9Q ( R r )2 dt 6 g
T 0
拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理
学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值
拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义
i 1 n
k 1, 2, N
M1-2
变换
1.
ri ri qk qk
ri r m i i q k
i 1 n n
2.
ri d ri q q dt k k
n
3.
d ri d ri m i d t ri q k m i ri d t q k i 1 i 1
取OA杆转角 为广义坐标。
v A ( R r ) vA Rr A r r
M1-16
1 1Q 2 1 2 2 T J O v A J A A 2 2 g 2
11 P 1Q 1 1 Q 2 ( R r )2 2 ( R r )2 2 ( R r )2 2 r 2 23 g 2 g 2 2 g r
Q V m 2 gl sin x1