Fzj
k i1
i
fi z j
n个质点的系统受到k 个如 下形式的完整约束fi ,又若系统中 质量为mj的第j个质点受主动力 Fj，则系统的运动满足3n个方程
如左，称为第一类拉格朗日方程
，λi称为拉各朗日未定乘子。
*第一类拉格朗日方程用到的较少
.
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家 、 力学家、天文学家 ， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的 达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题） ；
约翰·伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理 （建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的 平衡问题）；
拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广 到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进 一步导出了拉格朗日方程。
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
.
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
i1
.
n
或 (Fi miai)δri 0 i1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 F iX iiY ijZ ik, ai x ii y ij z ik,
rixiiyijzik,
则动力学普遍方程的坐标分解式为
n
X i m i x ix i Y i m i y iy i Z i m i z izi 0
i 1
.
例1. 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动 。求连杆的加速度。
α
.
解：研究整个系统，进行受力分析；
设杆的加速度为a，则
.
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t) 对上式求变分得
δri q ri1δq 1 q ri2δq 2 q r N i δq N r tiδt
解得
a((22m m11m m22))rr22s.i2nJ g
.
.
.
.
(a) (b)
.
.
.
.
.
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格 朗日方程。
m
j &x&j
Fxj
k i1
i
fi x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
.
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
.
引言3：达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
设质点M的质量为m，受力有主动力F 、
M Fg
约束反力FN，加m速a度=为F+aF，N 则根据牛顿
第二定令律Fg，=－有ma
FN
a F
则 F+FN+Fg = 0
形式上的平衡方程
结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性
力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理。
a
Mg
Fg1
Fg1= m1a， Fg2= m2a，
Mg
J
J
a, r
Mg
Fg2 Fg1
m2g
m1g
给连杆以平行于斜面向下
m1g
N2
的虚位移s，则相应地两 s
轮有转角虚位移，且
α
s
N1
r
根据动力学普 遍方程，得:
于是
(2m 1m 2)gsins(2Fg1Fg2)s 2Mg0 (2m 1m 2)gsins(2m 1m 2)as2Jarrs0
.
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m ，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v
，锥摆的顶角为2φ，摆锤 M 受力如图。
其加速度为
a an v2
l sin
令 R=P+T
φ l T
an
则 ma = R = P + T
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体 （地心和绳子）一对应的反作用力， 反作用力的合力为
第二章 动力学普遍方程和拉各 朗日方程
1.动力学普遍方程 2.拉格朗日方程 3.动能的广义速度表达式 4.拉格朗日方程的初积分 5.碰撞问题的拉格朗日方程 6.拉格朗日方程的应用举例
.
引言1：非自由质点系的动力学问题
K
φ1 φ2
多杆摆问题.
摆长不定，如何确定 其摆动规律？
混沌摆问题
引言2：惯性力的概念
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
n
(Fi Fgi)δri 0
N i1

ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
.
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质 点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式 上的平衡力系。
即 ∑Fi + ∑ FNi +∑Fgi=0
或∑MO(Fi) + ∑ MO( FNi ) +∑ MO( Fgi ) =0
.
质点系的 达朗伯原理
1 .动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物 。