= q( x)
dx
20
弯曲的应力分析和强度计算
dx
M c = 0 M ( x) + dM ( x) − M ( x) − Q ( x)dx − q ( x)dx = 0
∑
dM ( x) = Q( x)
dx
d 2M ( x)
2
= q( x)
2
2、集中力、dx集中力偶作用处的剪力及弯矩
∑F y =0
ΔQ = P
3 3
b0 h0 bh
3 36
弯曲的应力分析和强度计算
思考：
梁的截面形状如图所示，在ｘＯｚ平面内作用有正 弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？
z a
b
y
c
37
弯曲的应力分析和强度计算
有一直径为ｄ的钢丝，绕在直径为Ｄ的圆筒上，钢丝仍
处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减 少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？
弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。
10
弯曲的应力分析和强度计算
思考：
梁的内力符号是否和坐标系有关？ 答：无关。
如图所示连续梁，ＡＢ和ＢＣ部分的内力情况如何？
A
E
0
0
P
B C FD
α
X C = P cos α
答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。
11
例1
如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求Ⅰ-Ⅰ， Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。
的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受
压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。 32
弯曲的应力分析和强度计算
3、静力学条件
∑F x =0
σ dA = FN = 0
∫A
∫ A σ dA = ∫ A E y dA = E ∫ A ydA = 0
ρ
ρ
∫ A ydA = 0
σ =E y ρ
39
例6
解M σ=y
M = 1kN ⋅ m
IZ D
ya = = 25mm
2
d
yb = = 12.5mm
2
22 122 1
yd =D0d 250 25 2
IZ =
π
(D
4−
) d44)44=4
=π21(5.704m− m25yc)4=×(−(1) 0=−3()4−=
2.88
×
10−7m
4
64
64
40
弯曲的应力分析和强度计算
二、惯性矩
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 矩形截面
πd 4
IZ = 64
3
πd
WZ = 32
bh 3
IZ =
12 bh
2
WZ =
6
空心圆截面 空心矩形截面
IZ = πD4 (1 − α4 )
64
WZ = πD3 (1 − α4 )
32
b0 h0 bh3 IZ =−
1212
Q = Q(x)
--剪力方程
M = M (x)
--弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。

14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
l−a
a
RA =
RB = P
横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。
34
弯曲的应力分析和强度计算
} 1 M
=
ρ EI xz
σ =E y ρ
M
σ=y
IZ
--纯弯曲梁横截面正应力计算公式
横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。
σ max M
=
σ max M
=
ymax
WZ
IZIZ WZ =
弯曲截面系数
ymax 35
截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。 中性轴通过截面的形心。
33
弯曲的应力分析和强度计算
∑M z =0 M = ∫ σydA A
M = ∫ A yE y dA = E ∫ A y 2dA
ρρ
σ =E y ρ
1M =
ρ EI xz
∑My = 0 ∫ A zσ dA = 0
∫ A zσ dA = E ∫ A zydA = 0 ρ
M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变
值等于集中力偶的值。
23
例5
m
如图所示外伸梁，已知：q，l， P = ql 3 ， = ql
试画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
∑M c =0
l 3l qlql l 2 R Al − q−+=0
2 463 2
2
l l3qlql 3l 11
RA = ql −− RRCC l=+=0q
30
弯曲的应力分析和强度计算
aa
线应变随y按线性规律变化
dx dx
Δl
31
弯曲的应力分析和强度计算
2、物理方程 假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在
拉伸及压缩时的弹性模量相等。MZ
ε= y ρ
胡克定律 σ = Eε
σ min
z
σ =E y ρ
C
σx
σ max
y
纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴
l ( < x2 ≤ l )
2 3、画剪力图和弯矩图
18
例4
如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。
解 1、求支座约束力
ql RA = RB =
2
2、确定剪力方程和弯矩方程
ql
(0 < x < 1)
Q ( x) = − qx 2qlqx
l
2 (0 ≤ x ≤ l )
M ( x) = x −
la
M ( x2 ) = RB (l − x2 ) = P (l − x2 )
l
(a ≤ x2 ≤ l )
3、画剪力图和弯矩图
l−a P
l
a P l
Q ( x2 )
M ( x2 )
RB
a (l − a ) P
l
16
例3
m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l，
= 3Pl 2
试绘剪力图和弯矩图。
2、列剪l力P 方程和弯l 矩方程
AC段
l−a Q ( x1 ) = RA =
(0 < x1 < a )
l−Pa M ( x1 ) = RAl x1 =Px1 (0 ≤ x1 ≤ a )
l
M ( x1 ) Q( x1 )
15
例2
BC段
a
(a < x2 < l )
Q ( x2 ) = − RB = − P
Q1 = 1.5kN M 1 = 1.5kN ⋅ m
∑F x =0 Q2 − q ×1 =
0
∑M C2 = 0 M 2 + q × 1× 0.5 =
0
Q2 = 2kN M 2 = −1kN ⋅ m
13
弯曲的应力分析和强度计算
三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图
设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可 以表示为坐标x的函数
解 1、支座约束力
∑M B =0
+RA × 4 − P × 2 − q×2×1=0
∑M A =0
P × 2 − RB × 4 + q × 2 × 5=0
RA = 1.5kN , RB = 7.5kN
12
例1
2、计算内力
∑F y= 0
∑ MC = 0 1
RA − Q1 = 0
RA × 1 − M 1 = 0
例6
M1× 10
86.8MPaσa =
M1×10 −7 IZ 43.4 M2.P88a × 10
M1× 10 −7
IZ 75.32M.8P8aσ×c =10
−7
IZ 2.88 × 10
3
−3ya =× 25 × 10 =
3
σ −3 b =yb =× 12.5 × 10 =
3
−3yc =× 21.7 × 10 =
火车轮轴简化为外伸梁
8
弯曲的应力分析和强度计算
二、剪力与弯矩
截面法求内力
∑F y =0 RA − P − Q = 01
∑M c = 0 M + P ( x − a ) − RA x =
01
Q = RA − P1
剪力
M = RA x − P ( x − a ) 弯矩1
9
弯曲的应力分析和强度计算
剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针 转动时为正，反之为负。
1M =
ρDE+Idxz
ρ=
2
2 EI z
M= D+d d
σ max M
2=
Iz
σ max Ed
= D+d
38
例6
受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩
M = 1kN ⋅ m ，外径 D = 50mm ，内径d = 25mm 。
试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点 直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。
集中力（包括支座约束力）作用处的两侧 截面上的剪力数值发生突变，且突变值等 于集中力的值
21
弯曲的应力分析和强度计算
工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是 分布在很小的范围内
∑ MC = 0