3.9线性分式不等式的解法------图像法安志英河北省平山县职教中心3.9线性分式不等式的解法———图像法河北省平山县职教中心安志英教学用书：《数学》高等教育出版社（基础版）第一册（修订版）主编：丘维声教学内容：线性分式不等式的解法———图像法教学目标：1、理解线性分式不等式与一元二次不等式的关系2、能利用一元二次不等式的图象法求线性分式不等式的解集3、培养学生探索问题的意识和方法，以及与人合作的能力教学重点：线性分式不等式与一元二次不等式的关系教学难点：把线性分式不等式转化成一元二次不等式并求解教学类型：探究型教具准备：多媒体教学方法：合作教学法、探究教学法课时：1个教学课时教材分析：本教材在第二章2.4节已经讲过求线性分式不等式的解集，其依据是：“同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且分母不能为0”。
在第三章3.9 节学习了用图像法解一元二次不等式后，又给出了另外的依据：“同号两数相乘或相除时都得正数，异号两数相乘或相除时得负数”，这实际上又给出了另一种线性分式不等式的思路和方法，但也容易给学生的思路学习造成混乱，所以有必要做一节系统性的分析和探讨。
我们可以把第2.4节线性分式不等式转化成一元二次不等式来分析，这既是对一元二次不等式解法的总结，又是对这两部分知识内容的一个综合。
学生分析：职教类的学生基础较差，学习兴趣不高，在教学中要创设一定的学习情境和问题情境，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，发挥学生的学习潜能激发学生的探究意识，并展开讨论，培养学生的合作能力。
教学过程：一、创设情境提出问题在第二章2.4节我们已讲了解一元二次不等式的分解因式法其依据是：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且分母不能为0。
上节课我们学习了用图像法解一元二次不等式，（1）其依据是什么？（2）解性分式不等式与一元二次不等式的依据有何区别与联系？（3）能不能把线性分式不等式转化成一元二次不等式求解呢？（留出5分钟时间由学生解决前两个问题，教师引入第三个问题）二、复习回顾上节课我们共同学习了解一元二次不等式ax2+bx+c > 0（a> 0），当a < 0时，可以在不等式两边同乘以-1，得到的新的不等式的二次项系数-a > 0，并且新不等式与原不等式的解集相等。
从而我们只讨论a > 0的情况，以后不再生明。
1、简要叙述用图像法解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的步骤：（提问形式学生口述）*判断方程ax2+bx+c=0的根的情况*画函数y= ax2+bx+c的草图* 通过图像观察不等式ax2+bx+c>0的解集2、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集可能出现几种况？其依据是什么？（师生共同回忆）可分三种情况讨论用Δ表示一元二次方程ax + bx + c = 0的判别式。
情形1：Δ>0。
此时ax2+ bx + c = 0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1< x2），由于a > 0，因此ax2+ bx + c > 0的解集是( -∞，x1)∪(x2, +∞)；ax2+ bx + c < 0的解集是(x1，x2)。
情形2：Δ= 0。
此时ax2+ bx + c = 0有两个相等实根x1= x1。
由于a >0 ,因此ax2+ bx + c> 0的解集是( -∞，x1)∪(x1, +∞)；ax2+ bx + c < 0的解集是空集。
情形3：Δ< 0。
此时ax2+ bx + c = 0没有实根。
由于a > 0，因此ax2+ bx + c >0的解集是R ；ax2 + bx + c < 0的解集是空集。
(情形1) （情形2）（情形3）（强调情形1 △> 0的情况，为以下学习做铺垫）（动画展示三个不同形式的抛物线，以上内容安排 5分钟时间）3、你一定还记得不等式x+2x-1< 0 的解法吧（1）动手求解解: x+2x-1< 0x+2 > 0x+2< 0⇔或x -1 < 0 x -1 > 0x > - 2 x+2 < 0⇔或x < 1 x -1 > 0⇔- 2 < x <1因此原不等式的解集是（- 2 ，1）（2）问题：还记得这种解法的依据是什么？（学生回答：两数相除同号得正，异号得负，并且分母不能为0）（以上内容安排3分钟时间）三、合作探究，引入新课 1、学生抢答，深入思考问题（一） 下面给出的两个等价关系成立吗？（判断并说明理由） （1） x+2x-1< 0 ⇔ （x +2）（x -1）< 0 （2）x+2x-1≤ 0 ⇔ （x +2）（x -1）≤0 学生讨论后师生共同得出答案（1）小题正确。
理由：同号两数相乘或相除得正数，异号两数相乘或相除得负数。
（2）小题错误，引导学生得出在（1）小题结论的基础上还要求分母不能为0。
问题（二）（口述）既然问题（一）中（1）x+2x-1< 0⇔ （x +2）（x -1）< 0 是真命题，那不就是说这样的线性分式不等式可以转化成后面的一元二次不等式来解吗？ 但是要注意后面的一元二次不等式应该是最容易求解的那种形式。
教师总结：由于同号两数相乘或相除时都得正数，异号两数相乘或相除时都得负数，因此我们可以把第二章2.4节讲的线性分式不等式转化成一元二次不等式，但是要注意分式的分母不能为0，然后用一元二次不等式的图像法简捷求解。
2、师生互动，检验理论的可行性 例1 解不等式x+2x-1< 0 分析x+2x-1< 0 ⇔ (x + 2) (x -1)< 0很容易求出 (x + 2) (x -1)=0 的两个根是x 1= -2，x 2=1并由前面的情形1可得， 原不等式的解集是 （-2 ， 1） 3、探究学生求解后提出问题： 当“< ” 改为“ ≤” 或 “≥” 该怎样处理？ 如 x+2x-1≥ 0 回答出x+2x-1≥ 0 ⇔ (x + 2) (x -1) ≥0 且x -1 ≠ 0教师总结：当线性分式不等式中出现“≤” 或 “≥” 时，特别要加上“分母不等于零” 这个条件。
4、巩固提高例2 有了例1的分析，相信你一定能求出不等式x+2x-1 ≥ 0 的解集（学生合作探究，写出解题过程） 解：x+2x-1≥ 0 ⇔ x + 2) (x -1) ≥0 且x-1 ≠ 0(由于(x + 2) (x -1)=0 的两个根是x 1= -2，x 2=1) ⇔ x ≤-2或 x >1因此原不等式的解集是 (-∞ -2 ] ∪(1，+ ∞） 5、分组讨论例3 （现在让我们一起分析如下不等式的求解过程）-x+2x-1< 0 （1）出示解题过程 （动画演示） 解-x+2x-1< 0 ⇔ (-x+2) (x -1 ) <0⇔ 1< x < 2( 解法的给出实际上是给学生创设一个误区：任何线性分式不等式都可以不加思考的如此来解。
通过分析探索，加深学生对一元二次不等式条件a>0的理解和认识) （2）提出问题,分组讨论：你能发现以上解题过程中有问题吗？（学生回答的结果有三种可能：正确、错误、弄不清，教师针对问题作出解释) 师总结：不等式左边的分式中分子分母上，当含x 的项系数是异号时，利用等价关系转换成一元二次不等式为： (-x+2) (x -1 ) < 0即 –x 2+3x -2 < 0 这与a>0的条件不符,所以上述解法有问题，所以上述解法有问题。
（3）正确解法：（动画演示） 解 -x+2x-1 < 0⇔ x+2x-1 > 0（省略-(x-2)x-1< 0 这一步） ⇔ (x-2) (x -1 ) > 0⇔ x < 1 或 x > 2因此原不等式的解集是 (-∞ , 1 ) ∪( 2 , +∞) 通过例3让学生明白：解线性分式不等式时也要求分子分母上x 的系数为同号，如果出现x 的系数是异号时，要变异号为同号，即提出负号，并且在不等式 两边同乘以-1，同时不等号的方向改变。
（以上内容按排20分钟时间） 四、练习巩固，掌握解法 例4 解不等式-x+2-x-1≤ 0问题1：与例3有什么区别？(很容易看出分母中x 的系数也变成负数了) 问题2：怎样将分式中分子、分母的系数变成正数？当分子分母同为负数时，提出负号后不等号的方向不改变。
学生口述，教师板书 解 ： -x+2-x-1 ≤ 0⇔ x-2x+1 ≤ 0 （省略-（x-2）-（x+1） ≤ 0 这一步）⇔ （x-2）（x+1） ≤0 且x+1 ≠ 0 ⇔ - 1 < x ≤ 2因此原不等式的解是（ -1 ，2] （以上内容按排3分钟时间） 五、反复探究，轻松求解 解下列不等式：（1）x-2x+3≤0（2）x+5-2x+7≤0（两学生板演，个别指导）（以上内容安排10分钟时间）六、知识梳理，师生总结通过这节课的学习你掌握了什么？有何收获？1、线性分式不等式的解法方法1：根据两数相除，同号得正，异号得负，且分母不能为0方法2：把线性分式不等式转化成一元二次不等式并用图象法求解通过做题比较方法2可以简捷求解，所以屏弃方法12、解线性分式不等式时要区别“< ”（>）与“≤”（≥）3、当线性分式不等式分子分母中 x 的系数异号时要提出负号，在不等式的两边同乘以-1，同时不等号的方向改（以上内容安排3分钟时间七、作业布置（1）一般练习P124 B组2（1）（2）（2）探索提高P124 B组2（3）（4）八、板书设计九、教学反思本课时的教学内容是一节综合性较高的学习内容，通过对线性分式不等式的等价关系变形，利用一元二次不等式的图像法求解，提高了线性分式不等式的解题效率，锻炼了学生分析问题和综合问题的能力。
在教学过程中首先，创设问题情境从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，发挥学生的学习潜能，激发学生的探究意识，并展开讨论，培养学生与人的合作能力；另外，运用了现代化教学设备，这无疑提高了教学进度，加大了课时容量，提高了单位课时的教学效果。