高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分________ 系 ________ 专业 _______ 班一.选择题=1 ,并且其周长为 S ,则 n L (3X 2 +4y 2+12)ds =到点B （o,1）的折线，则曲线积分 jL （x + y ）ds= _ 三.计算题2 兀 2 n / 2 2~解：原式=[a J (x ") +(y ') dt=a 2，直线y = X 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x 轴和直线y=x 的交点分别为 A 和B ,于是原式显J OA + J AB +J BO }$"叫5 在直线OA 上y =0,ds = dx 得第一节对弧长的曲线积分1.设L 是连接 A(—1,0),B(0,1) , C(1,0)的折线，贝y JL(x + y)ds =(A) 0(B)(C) 242（A ） S 二.填空题 (B) 6S (C ) 12S (D) 24S1.设平面曲线L 为下半圆周y = -71 -X 2，则曲线积分 [(x 2 + y 2)ds = _四 』（X 2+y 2）n ds ，其中L 为圆周x=acost , y=asi nt ( 0 < t < 2兀).姓名学号2.设L 为椭圆2 .设L 是由点 0（0,0）经过点 A （1,0）2n 十 r 2兀■丄2n 4jl e ^ds ，其中L 为圆周X 2 +y 2f ~2 j y2 aOA 护 ds^ie^x-e*—13T在圆周 AB 上令 X = acosB, y = asin0,O <0 <二得4r ~2 2 兀 _____________[e"x 旳 ds = 0鼻玄 J (x )2 +(y')2d 日= ■2 J AB在直线BO 上y=x,ds = j2dx 得____ Q a LLe'X 旳 ds = 72 t 2 e"2x dx = e a-1所以原式=（2 +色；Qe * —24 3. ( y 2ds ，其中 L 为摆线的一拱 x=a(t-si nt) , y = a(1 — cost) ( 0 < t < 2花).解：原式=2a 2 讥1 -cos t )2 J (X )2 + ( y )2dt 5=2层3 f(1 - cos t )2dt_ 256a 3-15《高等数学》练习(下)高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分.选择题1.设L 以(1,1), (—1,1) , (―1,—1), (1,—1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则21 •设设L 是由原点O 沿y = X 到点A (1,1),则曲线积分2 22 •设 L 是由点 A(1,—1)到 B(1,1)的线段，则 J L (x —2xy)dx+(y -2xy)dy =三.计算题，求曲线积分(2xy-2y)dx +(x 2-4x)dy • 解：将圆周写成参数形式 X =acos£,y =asin£,(0 ＜日＜2兀),专业 姓名学号第二节对坐标的曲线积分(A) 2.设L 是抛物线 (B ) 22y =x 2(-1 <x <1)(C ) 4 (D) 0,x 增加的方向为正向，则 (xds 和J L xdy - ydx = [ A ]0,|二•填空题(A) (B) 0,05 2 (C)8,3J L (x-y)dy1 •设L 为取正向圆周X 2+y 2=a 2于是原式2兀 2 20 {(2a 2 cos 日sine -2asin0) (-asinQ)+ (a 22 cos 日 一 4aco 或)a cos 日}d日L 兀{(—2a 3 cos 日 sin 2 0 +2a 2 sin 2 0) +(a 3cos 6 -4a 2 cos 2 8)}d 日 -2 -2a 兀, 2 _______________________2 .设L 是由原点O 沿y = X 到点A （1,1），再由点A 沿直线y=x 到原点的闭曲线，求—IyJ arctan 丄 dy-dx 」 x解：11 y 1 = darctan Sy-dx = ((2 xarctanx- 1)dx 'X.2 1 兀=[x arctan x — x + arctan x — x]o = — 一 2 2 3.计算 (1) 解: 12y 0=JAo arctan —dy - dx = ' (arctan 1-1 )dx =1 XJIJI 兀所以原式汀…二盯2^1盲盲-1J L (X 中 y)dx +(y-x)dy ，其中 L 是: 抛物线y 2=x 上从点（1 , 1）到点（4, 2）的一段弧; 从点（1 , 1）到点（4, 2）的直线段； 先沿直线从点（1 , 1）到点（1, 2）,然后再沿直线到点（4, 2）的折线. (门原式=1 {(y 2 +y ) 2y + ( y —y 2)}dy23 2=〔(2y +y +y )dy=34 -3(2)过(1, 1), (4, 2)的直线方程为 X = 3y - 2, dx = 3dy2所以 原式=[{3 (4y —2)+( 2—2y )}dy4 2=1 (10y-4) dy=11(3)过(1, 1), (1, 2)的直线方程为 X =1,dx =0,1 < y < 2第三节格林公式及其应用一.选择题1.设曲线积分J L (X 4中4xy P )dx 中(6x P'y 2 -5y 4)dy 与路径无关，则p =2.已知\ '、 7 f 2宀 为某函数的全微分，则 a = (x+y)所以 2 1l -1(^1)d ^2(3)过 (1, 2), (4, 2)的直线方程为 y = 2,dy = 0,1 < X < 4所以4 27 I2 = [(x+2)dx 盲于是 原式=li +12 =144•求jL(y 2-z 2)x 誓y xcz^ 2,其中L 为曲线X =t,y =t 2,z=t 3(0<t <1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式 =f {(t 4-t 6) + 4t 64-3t }dt=0 (3『-2t 4 )dt"35高等数学练习题第十章 曲线积分与曲面积分 专业姓名学号(A) 1(B) 2 (C ) 3 (D) 4(X + ay)dx + ydy2 22.设曲线L 为圆周x +y =9，顺时针方向，则』(2xy -2y)dx +(x — 4x)dy= _J l87i |三.计算题1. I = J L (2xy 3-y 2cosx)dx +(1-2ysinx + 3x 2y 2)dy ，其中 L 为在抛物线 2x =兀 y 2上从点3T(0,0)到(；,1)的一段弧。
解：设 P(x,y) =2xy3 - y2cosx, Q(x, y) = 1 - 2ys i rx + 3x2y2.= 6xy 2-2ycosx ，所以曲线积分与路径无关。
cy ex■TT - jr(y ，0)(-.1) 3 2 2 2 =[J02十 Jj ? ](2xy 3 -y 2 cos x )dx + (1-2y sin x + 3x 2y 2)dy，(2,0)(A)-1(B) 0(C ) 1 (D) 21 2 2x3•设L 为从A(1,—)沿曲线2y=x 2到点B(2,2)的弧段，则曲线积分f —dx-2 Ly2x ,—dy = [ D ] y(A )—3 3(B)-2(C ) 3二.填空题 1.设L 是由点0(0,0)到点A(1,1)的任意一段 光滑曲线，则曲线积分((1-2xy-y 2)dx-(x + y)2dy =因为于是 I打(―2 y +3'7y 2)dy《高等数学》练习(下)(6xy2- y3)dx + (6x2y -3xy2)dy与路径无关并计算其积分值4(3,4)2.证明J(1,2)《高等数学》练习(下)证明：设P(x, y) =6xy2 - y3, Q(x, y) = 6x2y - 3xy2,因为迟=i2xy -3y2 = 2 ,并且连续，所以该积分与路径无关。
cy ex分别记(1,2), (3,2) , (3,4)为A,B,C因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。
即，(3, 2) O Q O O (3,4) O Q O O 原式=((6 xy - y )dx+(6 x y- 3xy )dy + J((6 xy - y )dx + (6 x y- 3xy )dy (l,2) (3,2)=8 l(3x -1)dx +9 f (6y -y2)dy。
= 2363.设f (u)是u的连续可微函数，且J：f(u)du=AHO , L为半圆周y = J2x-x2，起点为原点，终点为(2,0)，求(f(x2 +y2)(xdx+ydy)解：设P(x, y) = X f(X2+ y2), Q(x, y) = y ”f(X2+ y2),cP 2 2 QQ因为——=2xyf (X2+ y2)=—兰，所以该积分与路径无关。
dy ex若记(0,0),(2,0)分别为O,A 则原积分=『f(X2+ y2)(xdx+ ydy)OA=J02f(x ) xdx1 4 2f ( U) du(令u = X )=A"2。