第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。

222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰g 。

(3)⎰+Lxdy y ydx x32，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：21:,:11L x y y =→-, 2:1,:11L x y =-→, 则1223232311155361114(2)27LL L x ydx y xdy x ydx y xdy x ydx y xdy y y y dy y dy y dy ---+=+++=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰g Ñ*(4)zxdz xydy dx y ++⎰Γ2，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着I ）直线段； II ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；解：I ）Γ的参数方程为x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，01t ≤≤，则原式=12220()1t t t dt ++=⎰II ）OA: 0x t y z =⎧⎨==⎩, 01t ≤≤; AB: 1x y t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,01t ≤≤;BC: 11x y z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩.01t ≤≤.原式=112001OAABBCy dx xydy zxdz tdt tdt ++++=++=⎰⎰⎰⎰⎰第五节 对坐标的曲面积分1. 选择题(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B ）（A ）无关 （B ）有关 (2) 已知⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(存在，则⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(+⎰⎰-∑dxdy z y x R ),,(= （A ）（A ）0 （B ）⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(22. 计算下列对坐标的曲面积分： (1)⎰⎰∑+zdxdy y x)(22，其中∑为曲面221y x z --=在第一卦限部分的上侧.解：由2210z x y z ⎧=--⎨=⎩知，∑在xoy 面的投影区域为：{(,)|01}{(,)|01,0}2xy D x y y x r r πθθ=≤≤≤≤=≤≤≤≤，222212220()(1)11(1)()24624xyD x y x y dxdyd r r rdr πππθ+--=-=-=⎰⎰⎰⎰原式=(2)⎰⎰∑++dxdy ydzdx dydz x )1(＋，其中∑为1=++z y x 在第一卦限的部分且取法线的方向与z 轴的夹角为锐角.解：由已知得，平面与x,y 轴的夹角也为锐角，∑在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故 原式=11111104(2)(1)3yxxdy y z dz dx x z dz dx dy -----+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

*3．把dxdy z x ydzdx xdydz )(+++⎰⎰∑化为对面积的曲面积分，其中∑为平面222=++z y x 第一卦限部分的上侧.解：因∑取上侧，故法向量n r与z 轴正向夹角为锐角，方向余弦为221cos ,cos ,cos ,333αβγ=== 从而21111()(32)33333x y x z dS x y z dS +++=++∑∑⎰⎰⎰⎰原式=第六节 Gauss 公式 *通量与散度1. 利用高斯公式计算下列曲面积分： (1)zdxdy ydzdx x dydz yz x +--⎰⎰∑232)(，其中∑为平面 1,1,1,0,0,0======z y x z y x 围成的立方体Ω的表面外侧；解：由Gauss 公式，得原式=1112224(321)(1)3x x dxdydz dz dy x dx Ω-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

(2)dydz z y x dxdy y x )()(-+-⎰⎰∑，其中∑由1,0,922===+z z y x所围空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧； 解：由Gauss 公式，得231232000()(sin )119(sin )9(sin )242y z dxdydz d rdr r z dzd r r dr d πππθθθθθθπΩ-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式=*(3)zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧；解：设1∑为2220z =≤（x +y a ）的下侧，∑与1∑围成的闭区域为Ω，由Gauss 公式，得1332xdydz ydzdx zdxdy dxdydz a πΩ+++==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰Ò，而10xdydz ydzdx zdxdy ++=∑⎰⎰Ò，故原式=32a π。