第11 章测验题（二）曲线积分与曲面积分的应用1.C 2.D 3.B4.解：令I =()()3,4 3,4∫−+−=∫+ (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy()()1,2 1,2∂P∂y= 12xy− 3y2=∂Q∂x因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,2)→B(3,2)→C(3,4)的折线计算I ∫−+−+∫−+−I =(6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dyAB BC在积分区域AB 上，y = 2，x :1 → 3，若化为对x 的定积分，则dy = 03 3I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6x 4 8)dx (6x 2 3x 4) 0dx1 =∫−+−=∫×−+∫×−××2 3 2 2 2AB 1 13=∫x dx x x(24 8) −−= 2 =[12 8 ]80311在积分区域BC 上，x = 3，y : 2 → 4 ，若化为对y 的定积分，则dx = 04 4I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6y 3 y ) 0dy (6y 9 3y2 3)dy2 =∫−+−=∫×−×+∫×−×2 3 2 2 2 3BC 2 244=∫y y dy y y(54 − 9 ) =−=[27 3 ]1562 2 322因此I =I1 +I = 80 +156 = 23625.解：令I =()()2,3 2,3∫++−=∫+ (x y)dx (x y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy()()1,1 1,1∂P∂y= 1 =∂Q∂x因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,1)→B(2,1)→C(2,3)的折线计算I1∫++−+∫++−I =(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dyAB BC在积分区域AB 上，y = 1，x :1 → 2 ，若化为对x的定积分，则dy = 02 2I (x y)dx (x y)dy (x 1)dx (x 1) 0dx1 =∫++−=∫++∫−×AB 1 12⎡1 +⎤2=∫x dx x x ( +1) =2=∫x dx x x⎢⎥⎣2⎦1 1 =5 2在积分区域BC 上，x = 2 ，y :1 → 3，若化为对y 的定积分，则dx = 03 3I (x y)dx (x y)dy (2 y) 0dy (22=∫++−=∫+×+∫−2=∫++−=∫+×+∫−BC 1 1y)dy3⎡− 1 =∫y dy y y31⎤⎥⎦= 0(2 −) = 22⎢⎣ 2 1因此I=I I1 +=2 5 26.解：令I =()()2,1 2,1∫−++−=∫+ (2xy y4 3)dx (x 4xy )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy2 3()()1,0 1,0∂P∂y= 2x −4y3=∂Q∂x因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,0)→B(2,0)→C(2,1)的折线计算I2∫−++−+∫−++−I =(2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dy (2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dyAB BC在积分区域AB 上，y = 0，x :1 → 2 ，若化为对x 的定积分，则dy = 02 2I (2xy y 3)dx (x 4xy )dy (0 0 3)dx (x 0) 0dx1 =∫−++−=∫−++∫−×4 2 3 2AB 1 12=∫dx31= 3在积分区域BC 上，x = 2 ，y : 0 →1，若化为对y 的定积分，则dx = 01 1I 2xy y 3)dx (x 4xy )dy (2 2y y 3) 0dy (4 4 2y )dy2 =∫−++−=∫×−+×+∫−×( 4 234 3BC 0 01=∫y dy y y(4 3 ) =−=− 8 4[4 2 ] 21因此 3 2 5I =I1 +I =+=27.解：令P = 3x2 y + 8xy2 Q =x3 + 8x2 y +12ye y∂P ∂QQ== 3x2 +16xy ∂y ∂x 在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函xOy xOy数使得，采用u(x, y)du =Pdx +Qdy A(0,0)→B(x,0)→C(x, y)的折线计算曲线积分：3I∫=u(x, y) =(3x2 y 8xy2 )dx ( 3 8 2 12 y )++x +x y +ye d yAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 →x ，若化为对x的定积分，则dy = 0x xI (3x y 8xy )dx (x 8 y 12ye d y dx x dx1 =∫++++=∫++∫++×2 23 x2 y ) (0 0) ( 3 0 0) 0AB 0 0= 0在积分区域BC 上，x =x（此时x 为常数），y : 0 →y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 ∫++++I =(3x2 y 8xy2 )dx (x3 8x2 y 12ye y )dy2BCy y=∫∫(3 3 2x2 y + 8xy )× 0dy +(x 8x y +12ye y )dy2 +0 0=y y( 8x y 12ye )dy x y x y yd e3 2 y 3 2 2 y[ 4 ]12 ( )=y[ 4 ]12 ( )∫++=++x y ∫y=00 0=y3 4 12[y e ]12 e dy []2 y 2 yy yy −∫=y=y x y x y y x y ye + 2 +=x3 + 4 2 +12 y −12 ey==00 y=x3 y + 4x2 y2 +12ye y −12ey因此I= 1 +I =x3 y + 4x2 y2 +12ye y −12e yI2即u(x, y)即为所求。

=x3 y + 4x2 y2 +12ye y −12ey8.解：令P =x + 2y Q = 2x +y∂P ∂Q Q== 2 ∂y ∂x 在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函数使xOy xOy u(x, y)得Pdx Qdy ，采用du =+A(0,0)→B(x,0)→C(x, y)的折线计算曲线积分：4I∫=u(x, y) =(x + 2y)dx + (2x +y)d yAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 →x ，若化为对x的定积分，则dy = 0x xI (x 2y)dx (2x y)d y(x 0)dx (2x 0) 0dx1=∫+++=∫++∫+×1=∫+++=∫++∫+×AB 0 0=x22在积分区域BC 上，x =x（此时x 为常数），y : 0 →y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0 ∫+++I =(x 2y)dx (2x y)dy2BCy y=∫∫(x + 2y)× 0dy +0 0(2x +y)dy=y∫(2x+y)dy=⎡2xy⎢⎣+y22⎤⎥⎦y=yy=0=2xy+y22因此I =I1 +I2=y2 x22xy ++2 2即u(x, y)y2 x2= 2xy ++即为所求。

2 29.解：令P = 2xy Q =x2∂P ∂Q Q== 2x ∂y ∂x 在整个面内恒成立，因此在整个面内，存在某个函数xOy xOy u(x, y)使得Pdx Qdy ，采用du =+A(0,0)→B(x,0)→C(x, y)的折线计算曲线积分：∫I =u(x, y) =2xydx +x2dyAB+BC在积分区域AB 上，y = 0，x : 0 →x ，若化为对x的定积分，则dy = 05x xI 2 0 01 =∫xydx +x dy =∫dx +∫x ×dx=2 2AB 0 0在积分区域BC 上，x =x（此时x 为常数），y : 0 →y ，若化为对y 的定积分，则dx = 0y y∫+∫( ×+∫y=yI2 = 2 2 xy dy x dyxydx x dy 2 0 = 2 ==[x y]x y)2 2y=0BC 0 0因此I= 1 +I =x2 yI2即u(x, y)x y 即为所求。

=210.解：令=∫(−)+(+)=∫+I 2xy x2 dx x y2 dy P(x, y)dx Q(x, y)dyL L∂P ∂y = 2x∂Q，=1∂x⎛∂∂⎞Q =∫∫(−)PI ∫∫⎟=⎜−⎜dxdy 1 2x dxdy ∂x ∂y⎝⎠D D= 1 x()∫∫−dx 2 1 2x dy0 x = 1(1x)(x x )d x =∫ 1 (−−+)∫−−2 x 2x x x2 2x3 dx20 01⎡⎤3 52 2 1 2=x −x −x x =2× 3+ 4⎢⎥2 23 5 3 4⎣⎦0 1 3011.解：令=∫(−)+(−)=∫+I x3 xy3 dx y3 2xy dy P(x, y)dx Q(x, y)dyL L∂P =−3xy2 ∂y∂Q，=−2y∂x⎛∂∂⎞Q P =∫∫(−+) I ∫∫⎟=⎜y 3 2−dxdy 2 xy dxdy ⎜∂x ∂y⎝⎠D D= 2 2 (2y xy )d y ∫()2y=2 ∫dx∫−+3 −y + 32 = 2 xy dx=00 0 0 24 x dx []8 2=− 4x + 4x = 8212.解：令=∫(−+)+(+−)=∫+I 2x y 4 dx 5y 3x 6 dy P(x, y)dx Q(x, y)dyL L∂P ∂y =−1∂Q，= 3∂x⎛∂∂P ⎞ 1Q =∫∫[−(−)]I ∫∫⎟ 3 =∫∫=⎜ 1 4 3 2 12 −dxdy dxdy dxdy = 4×××=⎜∂x ∂y2 ⎝⎠D D D13. 解:所求的弹簧Γ的质量表示为6m=∫x y z dsρ( , , )Γ积分区域Γ为参数方程：x=2cos t，y=t，z=2sin t，0 ≤t ≤ 6π，弧长元素为ds =(−2 s in t)2 +1+ (2 cos t)2 dt =5dt将所求对弧长的曲线积分化为定积分为6πm=∫ρx y z ds =∫2yds =∫t dt( , , ) 2 5 =5 (6π )2 =36 5π2ΓΓ014. 解：所求弹簧的质量表示为m=∫x y z dsρ( , , )Γ积分区域Γ为参数方程：x=cos4t，y=sin4t，z=t，0 ≤t ≤ 2π，弧长元素为ds =(−4 s in 4t)2 +1+ (4cos 4t)2 dt =17dt将所求对弧长的曲线积分化为定积分为2πm=∫ρx y z ds =∫z ds =∫t dt( , , ) 17=217π2ΓΓ015.解一:力F 所作的功W表示为∫⋅W =F(x, y) d r ，其中d r = (dx,dy) ，L令x =t, y =t2 −1作为曲线的参数方程，t 从1到‐2，此时dx =1dt,dy = 2tdt ，得W-2-2=∫x y d ∫ydx xdy ∫t t t dt ∫tdtF( , ) ⋅r =−=[( 2 −1) − ( )(2 )] =(− 2 −1)=L L 116 .解二:力F 所作的功W表示为W=∫L F⋅T ds其中T 为定向曲线x =t, y =t2 −1（t从1变到‐2）的单位切向量，即T = (1, 2t)1+1 (2t)2由对弧长的曲线积分的计算方法可知ds =(1+ (2t)2 dt因此W1−2 -2=∫∫=∫t dtF ⋅T ds =(t2 1, t) ⋅(1, 2t) (1+ (2t) dt ( 1)6−− 2 − 2 −=1 +)1 (2t2 1L16. 解一：力F 所作的功W表示为∫⋅W =F( , ) r ，其中d r = (dx,dy) ，x y dLπ令x = 2 2 cos t, y = 2 sin t 作为曲线的参数方程，t从0变到27，此时dx =−2 2 sin tdt ，dy = 2 cos tdt ，于是W∫F( , )⋅r =∫−−⋅=x y d ( kx, ky) (dx,dy)L L=πk∫+=−∫−+−xdx ydy2( 8cos t sink t2( 8cos t sinL 02sin t cos t)dtππ=(8 − 2) 2 cos t sin tdt 6kk ∫=∫20 0 sin td(sin t)π⎡ 2⎤=k sin t 2k 6 3k6 =×==ksin t 2k 6 3k⎢⎥2 2⎣⎦解二：力F 所作的功W表示为W=∫L F⋅T ds其中T 为定向曲线x = 2 2 cos t, y = 2 sin t （t从0变到π2）的单位切向量，即T =(−2 2 sin t,2cos t) 8× (sin t)2 + 2× (cos t)2由对弧长的曲线积分的计算方法可知ds =8× (sin t)2 + 2× (cos t)2 dt 因此W=∫L F⋅T dsπ2=∫(−2 2 sin t, 2 cos t)8×(sin t) + 2× (cos t) (−k × 2 2 cos t,−k 2 sin t) ⋅8×(sin t)2+ 2×(cos t) dt2ππk ∫−+=−∫=− 2 ( 8cos t sin t 2sin t cos t)dt k(8 2)20 0ππ⎡⎤sin2∫= 6k 2 sin td(sin t) 6 =×==k t 2 k 6 3k⎢⎥2 20 ⎣⎦cos t sin tdt17.解：将积分区域Σ分解为Σ=Σ1+Σ2,其中积分区域Σz1:z = 4 ,z = 0 ,= 0x yΣ 1 =x y x +y ≤1的投影区域为{(, ) 4}D 2 2 ,面积元素为dS =1+ 0 + 0dxdy =dxdy积分区域Σ2:z=x2 +y2 ,xz =,x +x2 y2yz =y +x2 y2Σx 22的投影区域为{(, ) 4}D2 =x y x +y2 ≤,面积元素为dS z z dxdy dxdy2 =1+ 2 + 2 =,y所求曲面面积为==16π+16 2π=16(1+2)π. ∫∫=∫∫+∫∫∫∫+∫∫S =dS dS dS dxdy 2dxdyΣΣ 1 ΣDD 21 2818.解：积分区域Σ:z =R2 −x2 ,−xz z=,= 0 x −yR2 x2投影区域为{}D (x, y) 0 x R, y R xxy =≤≤0 ≤≤−,2 2面积元素为dS =1+x R2z z2 dxdy =2 +1++ 0dxdy =x y 2 2 2 2R −xR −xd xdy所求面积为SR R −x2 2R∫∫=∫∫∫∫= 2 dS 2 dxdy =2 dxR −x2 2ΣD0 0xyRR2−x2dy =R∫2R −x R2 2R ∫−R∫dx dy = 2 R x dx = 2R22 2R −x R −x2 2 2 20 019.解：积分区域Σ:z =a2 −(x2 +y2 ) ,−xz =, x −+a2 (x2 y2 )−yz =y −+a2 (x2 y 2)⎧2⎫ a 2a xy⎨⎬,投影区域为D =) (x +(x , y − ) y 2 ≤2 4⎩ ⎭= ⎧ ρ θ ≤ θ ≤ π ,0 ≤ ρ ≤ cos θ将投影区域看成极坐标区域为D ⎨( , ) 0 axy⎩2⎫ ⎬ ⎭所以面积元素为 dS xya22=,1+ z 2 + z dxdy1+ +dxdy =dxdy2=x222222y−−a − xy ax y22−2a − x − y（4 分）因此所求曲面面积为S =∫∫ ∫∫ dS = ΣD xya 2− ax 2 − y 2dxdy = π2∫ ad θ 0a cos θ ∫a 2ρ−ρ 2d ρπ π2a 12 2= −∫[−]cos θ2a cos θ=∫∫d a − θ( − ρρd θa d)aa22 02 a 2− ρ2=π π 22a ∫− = ∫ − − 2 (sin θ 1)d θ a 2 (1 sin θ)d θ=πππ2 2 ⎛−⎞π 2 πa []∫− 2 ∫θθ=a ⎜ 12 dθ a sin d =a2 −cosθ⎟a 222 ⎝ 2⎠0 09。