r z. z r
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证
p RT , V
p V

RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号,不能看作
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
dz z x z y． x y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
证 由全增量公式
得到对x 的偏增量
x x
x
z lim xz A x x0 x
同样可证 z B, 因此有 y
令y 0, Ax o( x )
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在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz df Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
“可微”与“连续”的关系？
定理 2 如果函数z f (x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点连续.
证 z Ax By o(), lim z 0, 0
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 7 验证函数u(x, y) ln x2 y2 满足方程
2u 2u x2 y2 0.
证 Q ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
u x
u y
x

x2

y2
,
y x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) 存在，则称此
x0
x
极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的偏导
数，记为
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
2u y2

(x2 y2) (x2
y y2 )2
2y

x2 (x2
y2 y2 )2
.

2u x 2

2u y2

0.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数
满足
方程
2u 2u 2u u x2 y2 z2 0.
变量 x的偏导函数，简称偏导数.
记作
z x
，
f x
，
zx
或
f

x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f (x, y)对自变量 y 的偏导
数，记作
z y
，
f y
，
zy
或
f
y(
x,
y)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数u f (x, y, z)在点 (x, y, z) 处
分子与分母的商 !

p V

V T
T p

RT pV

1.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
2.偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
dz
z dx x
z dy y
.
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为：
du u dx u dy u dz. x y z
lim f ( x x, y 来自) lim[ f (x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
所以函数z f (x, y)在点(x, y)处连续.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
“可微”与“偏导数存在”的关系？
定理 3（可微的必要条件） 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
三、全微分
全增量
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的某邻域 内有定义，并设P(x x, y y)为这邻域内 的任意一点，则称这两点的函数值之差
f (x x, y y) f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全 增量，记为 z ，
3z y x2
.
解
z ex2y
z 2ex2y
x
y
2z x2

e x2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y y x
2z y2

4 e x2y
3z y x2

x
(
2z ) 2e x2y y x
注意:此处 2z 2z ,但这一结论并不总成立. x y y x
即 z f (x x, y y) f (x, y)
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ) 的全增量 可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关，则称函数 f ( x, y )在点( x, y) 可微，Ax By称为函数 f ( x, y)
（2）偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数
1、偏导数的定义
定义 1 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻
域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量x
ux
(
x,
y,
z)

lim
x0
u(
x

x,
y, z) x

u( x,
y,
z)
,
uy
(
x,
y,
z)

lim
y0
u(
x,
y

y, z) y

u(
x,
y,
z)
,
uz
(
x,
y,
z)

lim
z0
u(
x,
y,
z

z) z

u(
x,
y,
z)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
问题 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那么在该区域内 yx xy 这两个二阶混合偏导数必相等．
例如, 对三元函数u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或
Z

x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x fx (x, y) ,
z y fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x , y)
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例2 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证: x z 1 z 2z y x ln x y