4．圆周运动中的动力学方程
无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心 力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律，即
v2 ＝mω2r＝m 4π2r＝m4π2f2r. F合＝ma向＝m r T2
注意：向心加速度是引起速度方向变化的速度矢量 的变化率．向心加速度的存在是速度方向变化的前提条 件．但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化 的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小 反映了速度方向变化的快慢；当线速度一定时，向心加 速度的大小正比于速度方向变化的快慢．
考点二
向心力的特点及其计算
基础回顾 1．匀速圆周运动的向心力，是按________命名的力，其 动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度的______， 不会改变线速度的______． 2．表达式：对于做匀速圆周运动的物体其向心力应由其 所受合外力提供： F合＝ma向＝________＝________＝________＝________＝ ________. 答案：1．作用效果 方向 大小 v2 2r 4π2r m4π2f2r mvω 2．m mω m 2 r T
要点深化 1．向心力的作用效果
产生向心加速度以便不断改变物体的线速度方向，维持 物体做圆周运动．
2．向心力的来源
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可 以是各力的合力或某力的分力．总之，只要达到维持物 体做圆周运动效果的力，就是向心力，向心力是按力的 效果来命名的．对各种情况下向心力的来源应明确．如 水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体(如右图a)和水 平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力，圆锥摆 (如右图b)和以规定速率转弯的火车，向心力是重力与弹 力的合力．
2πr T
(5)向心加速度 向心加速度是按______命名的，总是指向______，方向
v2 ________在变化，是一个____加速度．当v一定时，a＝ ，即 r
a与r成______；当ω一定时，a＝ω2r，即a与r成______． 向心加速度的公式：a 向 ＝______＝______＝________＝ ________＝______.
5．平抛运动与匀速圆周运动的四个比较 (1)受力情况的比较：平抛运动中，物体只受恒定的重力； 匀速圆周运动中，物体受到的合外力提供向心力，而向心力的 大小恒定、方向不断变化，始终指向圆心． (2)加速度特征的比较：平抛运动的加速度为恒定的重力 加速度g；匀速圆周运动的加速度为大小恒定，方向不断变化， 始终指向圆心的向心加速度，加速度是变量．
(2)角速度ω ①定义：连结质点和圆心的半径转过的圆心角φ与所用时 间t的比值． ②物理意义：描述质点绕圆心转动的 ______．
φ
③大小：ω＝ . t 过的角度． 答案：(2)②快慢
是连接质点和圆心的半径在时间t内转
(3)周期T和频率f 质点沿圆周运动一周所用的______叫周期．符号T，国际 单位是秒． 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心所 ___________________，叫做频率，也叫转速．符号为f，国际 单位是赫兹． (4)v、ω、T、f之间的关系 T ＝ ______ ， ω ＝ ________ ＝ ______ ， v ＝ ________ ＝ ________________________________＝______. 答案：(3)时间 转过的圈数 (4) 1 2π 2πf f T 2πfr ωr
反比，所以ωa∶ωc ＝2∶1；b、c、d三点由于同轴，故各 点 角 速 度 ω 相 等 ， ωb∶ωc∶ωd ＝ 1∶1∶1 ， 归 纳 得 ： ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1. 而线速度v＝ωr与半径r成正比，vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，归
r
纳得：va∶ vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4；
(3)速率(动能)变化情况的比较：平抛运动中，物体所受合 外力(重力mg)除初始时刻与速度方向垂直外，其余时刻均与速 度方向成锐角，因此将对物体做正功而使物体速率(动能)不断 增加；匀速圆周运动中，物体所受合外力(向心力)始终与速度 方向垂直，因此对物体不做功而保证物体速率(动能)保持恒 定． (4)速度(动量)变化情况的比较：平抛运动中，由于物体加 速度恒定，所以在任意相等的时间内物体速度(动量)的增加相 同；匀速圆周运动中，由于物体加速度大小恒定而方向变化， 所以在相等的时间内物体速度(动量)的增量大小相等而方向不 同．
B A
＝4，D正确．
答案：D
动．
(3)条件 ①合外力：即外力合成的合力______作为产生向心加速度的 力．合外力大小不变，始终与速度方向______且指向____． ②加速度：只存在向心加速度，不存在______加速度． 答案：1．(1)弧长 (2)时刻变化 (3)①全部 垂直 圆心 ②切向
2．描述圆周运动的物理量 (1)线速度v ①定义：质点运动通过的弧长s与所用时间t的比值． ②物理意义：描述质点沿圆周运动的______，是矢量． ③方向：质点在圆弧上某点的线速度方向沿圆弧该点的 ______方向． ④大小：v＝______(s是t时间内通过的弧长)． s 答案：2．(1)②快慢 ③切线 ④ t
Δs 一般的运动物体其速度定义为v＝ Δt ，这里Δs为时间Δt内物
2．描述圆周运动的各个物理量之间的关系
描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向 心加速度五个物理量．线速度是描述质点沿圆周运动的快慢，角 速度描述质点绕圆心转动的快慢，周期和频率表示质点做圆周运 动的快慢，向心加速度描述线速度方向变化的快慢．其中T、f、 ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其它两个量就是确定 2π 1 的，其关系为T＝ ＝ .当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关， f ω r越大，v越大，r越小，v越小．
解析：做圆周运动的物体，其合力不一定指向圆心，但向 心力一定指向圆心．无论物体做什么样的圆周运动，向心
力总是与速度方向垂直，故向心力对物体绝对没有做功，
没有改变速度的大小，只有靠合力沿切向的分力做功来改 变速度的大小．
答案：AC
题型二
探究传动装置中圆周运动物理量的关系
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量
3．圆周运动中向心力的分析
(1)匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外 力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速 度方向垂直且指向圆心，就是物体做匀速圆周运动的条 件． (2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅 大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力 沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量 和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方 向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加 速度，改变速度的大小．
答案：D
点评：若对线速度和向心加速度的矢量性及产生原因理解
不清，就会出现错选ABC的情况．
题型训练 1．下列关于向心力的说法，正确的是( )
A．向心力具有瞬时性，时刻在变化
B．向心力是根据力的性质命名的，因为摩擦力也可做向心
ห้องสมุดไป่ตู้
力
C．只要做圆周运动，其向心力总指向圆心 D．物体做变速圆周运动，向心力要对物体做功，从而改变 物体运动的快慢
要点深化 物体做离心运动的条件
(1)做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着 切线方向运动，只是由于向心力的作用，使它不能沿切线方 向飞出，而被限制着沿圆周运动，如右图中B情形所示．
(2)当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位 置的切线方向飞出，如图中A所示．
(3)当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当 具有的向心力F′＝mω2r，即合外力不足以提供所需的向心力的 情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C所 示．
的关系．同轴的各点角速度ω相等；皮带不打滑的情况下，传
动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等． 在如右图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r， b点到圆心的距离为r，在不考虑皮带打滑的情况下，求图中a、
b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、向心加速度之比．
v 解析：a、c两点线速度大小相等，而角速度ω＝ 与半径r成
答案：效果 圆心 时刻 变 反比 正比
ω2r
4π2 2r T
4π2f2r vω
v2 r
要点深化 1．关于线速度定义的理解
体发生的位移；而做匀速圆周运动的物体其线速度则定义为v＝ s/t，这里s为时间t内物体通过的弧长．事实上，上述两种定义并 Δs 不矛盾．严格地说，v＝ 只是运动物体在Δt时间内的平均速 Δt 度．只有取Δt→0时的极限值才成为瞬时速度；而按照这样的定 义方法，做匀速圆周运动的物体在时间t内的平均速度应为 ＝ v Δl/Δt，这里Δl是时间Δt内物体通过的圆弧所对应的弦长 ．取 Δt→0的极限时，相应的弦长与弧长Δs相等．另外考虑到做匀速 圆周运动的物体“在任意相等的时间内所通过的圆弧长度都相 等”，所以，定义式v＝s/t给出的就是其瞬时速度的大小．
3．解决匀速圆周运动应注意的问题
(1)靠皮带、链条、齿轮传动时，两轮边缘线速度大小相等， 两轮边缘上一点的角速度和向心加速度大小都与轮的半径成反比； (2)同一轮上，同轴转动的物体上各点的角速度相等，同一 轮上各点的线速度和向心加速度大小与各点转动的半径成正比． (3)要注意向心加速度与半径存在两种关系的条件． (4)向心加速度确切的决定因素是线速度与角速度，即由这 两个速度共同决定
考点三
离心现象及其应用
基础回顾 1．定义 做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提 供圆周运动所需要的向心力的情况下，就做逐渐______圆心的 运动，叫做离心运动． 2．离心运动的应用和危害 利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的 脱水筒等． 汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是把 路面筑成外高内低的斜坡，由斜坡的支持力沿______方向的分 力提供向心力．二是限定汽车和火车转弯的速度不能超过由斜 坡的支持力沿______方向的分力计算得到的线速度． 答案：1．远离2．水平 水平