实验一 径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制一、实验目的1．绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分2．了解计算机绘图方法。

二、实验1．程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式列于下列各表中。

式中，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表1.1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。

①径向分布函数图：径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。

其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表2－2中。

②角度分布函数图：的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，本程序所采用的角度函数分别列于表3－302na Zr=ρ0a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm),(φθψlm322232,),(,,,,sp d sp yz xz z z z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。

角度分布函数图中，③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出2max ψ的最大值，求出相对几率密度2max 2/ψψ=P ，该值在X-Y 平面上是位置坐标(x,y)的函数(对于23z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。

当P ＜0.01时为空白， 0.01≤P ＜0.02时用“：”，0.02≤P ＜0.1时用“／”，0.1≤P ＜0.25时用“O ”，0.25≤P ＜0.5时用“&”和P ＞0.5时用“#”符号表示。

根据这些符号可以粗略看出几在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x ≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y ≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m原子轨道使用的波函数如表1－4所示。

对23224,4,4,3xz z z z f f d d 和轨道采用X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x ≤0,-1.42≤y ≤0的Ψ值，随后被2max 2/ψψ=P 代替，在其它三个象限内的相应值由对称性得到，用P(x,y)代表电子在坐标(x ，y)点的几率密度，则：P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y)表1－1 Slater 轨道中的Z *参量值杂化轨道采用的杂化方式如表1－5所示，程序中应用了以X 轴为对称轴的二重轴对称性，在X-Y 平面上画出杂化轨道等电子几率密分子轨道采用如表1－6所示的原子轨道的线性组合，取双原子-A 、B 的两个原子核在Y 轴上，及以Y 轴为分子轴，其坐标分别为-R AB ／2，R AB ／2，若Z A =Z B ，则分子轨道具有四重轴对称性，否则仅有以Y 轴为对称轴的二重轴对称性。

表1－2 类氢原子的径向波函数)(r R nl表1－3 波函数角度部分),(φθlm Yπ41=Sφθπcos sin 43=x pφθπsin sin 43=ypθπcos 43=zp)1cos 3(16522-=θπz d φθθπcos cos sin 415=xzdφθθπs i n c o s s i n 415=yzd φθπ2sin sin 4152=xyd φθπ2cos sin 1615222=-y x d )cos 3cos 5(16733θθπ-=z f φθθπcos )1cos 5(sin 322122-=xz fφθθπs i n )1c o s 5(s i n 322122-=yz f φθθπ2cos cos sin 161052)(22=-y x z f φθθπ2s i n c o s s i n 161052=xyz f φθπ3cos sin 32353)3(22=-y x y f φθπ3sin sin 32353)3(22=-y x x f()θπcos 3181+=sp Y⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=15231cos 52cos 1615232θθπsp d Y表1－4 类氢原子波函数),,(φθψr nlm20231)(1ρπψ-=ea Z S 20232)(241ρπψ-=e a Z S 20)66()(31812233ρρρπψ-+-=e a ZS 232234)123624()(19210ρρρρπψ--+-=e a ZSφθρπψρcos sin )(24122302-=e a Z xP φθρπψρsin sin )(24122302-=e a Z yP θρπψρcos )(24122302-=e a Z z P φθρρπψρcos sin )4()(21812233--=e a Z x P φθρρρπψρcos sin )1020()(564122324-+-=e a Z x P )1cos 3()(63612223232-=-θρπψρe a Z oz dφθρπψρ2cos sin )(236122232322-=-e a Z oy x dφθρπψρ2sin sin )(2361222323-=e a Z oxyd)1cos 3()6()(384122322324--=-θρρπψρe a Z oz dφθρρπψρ2cos sin )6()(31281223223224---=e a Z oy x dφθρρπψρ2sin sin )6()(312812232234--=e a Z oxy d)cos 3cos 5()(538413232334θθρπψρ-=-e a Z oz fφθθρπψρcos )1cos 5(sin )(3012812232324-=-e a Z oxz fφθρπψρ3cos sin )(2384132323)22(4--=e a Z oy x x f φθθρπψρ2cos cos sin )(3128122323)22(4--=e a Z oy x z f表1－5杂化轨道)(2122x p s sp ψψψ+=)2(31222x p s sp ψψψ+=)(2122223z p y p x p s sp ψψψψψ+++= xp y x d s dsp 422342212121ψψψψ++=-234223432121212161dz x p y x ds sp d ψψψψψ-++=-表1－6分子轨道成键轨道 反键轨道B s A s s 111ψψσ+= B s A s s 11*1ψψσ-=B s A s s 222ψψσ+= B s A s s 22*2ψψσ-=yB p yA p y p 222ψψσ-= yB p yA p y p 22*2ψψσ+=xB p xA p x p 222ψψπ+= xB p xA p x p 22*2ψψπ-= yB p A s y p s 2121ψψσ+= yB p A s y p s 21*21ψψσ-= yB p A s y p s 2222ψψσ+= yB p A s y p s 22*21ψψσ-=2．①1s 至4s ，2p 至4p ，3d 至4d, 4f 轨道的径向函数、径向密度函数、②所有s 、p 、d 、f 轨道和sp 、d2sp3杂化轨道的角度函数和角度分布③1s 至4s ，2x p 至4x p 、23zd 、223yx d -、xy d 3、24zd 、224y x d-、xy d 4、34zf 、24xz f、)22(4y x x f-、)22(4y x z f-原子轨道；sp 、2sp 、3sp 、2dsp 、32sp d 杂化轨道；s s 11±,s s 22±，x x p p 22±，y y p p 22±，y p s 21±，y p s 22±分子轨道3．使用方法本程序采用Turbo BASIC 语言编程，并已编译成可执行文件，适用于486系列微机，VGA 彩色显示器。

本软件的运行环境为MS －DOS3.30三、实验所需的仪器MS-DOS3.30或更高版本 四、实验步骤1.打开稳压电源开关，待电压稳定后，打开显示器、打印机和主2.选择适当参数，绘制径向分布，角度分布和原子轨道、杂化轨道、分子轨道等电子几率密度图各13.关掉主机和附件开关，切断电源。

五、数据处理记录所绘图形，观察各类函数的极大值、界面位置和数目以及分布情况。

六、在绘制径向分布函数和等电子几率密度图时只有选择合适的参数，才能观察到大小适当完整的图形。

七、结果与讨论1．在绘制径向分布函数、等电子几率密度图时为什么要选用有效核电荷?2．讨论有效核电荷大小对电子云及其各种分布的影响。