因为
h
1 2
＝
9 10
＋
ln 2 5
，
h(1)
＝1，
所以 k 的取值范围为
1，
190＋
ln 2 5
.
利用函数的极值 (最值 )判断函数零点个数 ，主要是借助导数研究函数的单调性、 极值后 ， 通过极值的正负、 函数单调性判断函数图象走势 ，从而判断零点个数或者利用零点个数求参 数范围．
数形结合法研究零点问题 [ 典例引领 ]
当 a＝1 时 ， f(x) 的单调递减区间为 (0， ＋∞ )；
1 当 a∈ (1，＋ ∞ )时 ， f(x)的单调递减区间为 (0，a)， (1， ＋∞)．
(2)g( x)＝ x2－ xln
x－ k(x＋ 2)＋ 2
在
x∈
[
1， 2
＋
∞)
上有两个零点
， 即关于
x 的方程
k＝
x2－ xln x＋ 2 在
第 6 讲 利用导数研究函数零点问题
利用最值 (极值 )判断零点个数 [ 典例引领 ]
已知函数 f(x)＝－ 12ax2＋ (1＋ a)x－ ln x(a∈ R)． (1)当 a＞ 0 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)当 a＝0 时，设函数 g(x)＝ xf(x)－ k(x＋2)＋ 2.若函数 g(x)在区间 [12，＋∞ )上有两个零 点，求实数 k 的取值范围． 【 解 】 (1) f(x)的定义域为 (0， ＋ ∞ )，
已知 f(x)＝ ax2(a∈ R )，g(x) ＝2ln x. (1)讨论函数 F (x) ＝f(x)－ g(x)的单调性； (2)若方程 f(x)＝ g(x)在区间 [ 2， e]上有两个不相等的解，求 【 解 】 (1) F(x) ＝ax2－ 2ln x， 其定义域为 (0， ＋∞ )，
a 的取值范围．
x＋2
x∈ [ 12， ＋ ∞ )上有两个不相等的实数根．
令函数
h
(x)
＝
x2－x ln x＋
x＋ 2
2 ，
x∈
[
1 2
，
＋
∞
)
，
பைடு நூலகம்x2＋3x－ 2ln x－ 4
则 h′x（)＝
(x＋ 2)2
，
令函数 p(x)＝ x2＋3x－ 2ln x－ 4， x∈ [ 12， ＋ ∞ )．
则
p′x（)＝
(2x－
1)( x
1 (ax－ 1)( x－ 1)
f(x)的导数为 f′x（)＝－ ax＋1＋ a－ x＝－
x
(a＞ 0)，
①当 a∈ (0， 1)时 ， 1a＞ 1.
1 由 f′x（)＜ 0，得 x＞ a或 a＜ 1.
所以 f(x)的单调递减区间为 (0， 1)， 1a， ＋ ∞ ；
②当 a＝ 1 时 ，恒有 f′x（)≤ 0，
x＋2) 在
[12，
＋
∞
)上有
p′x（)≥ 0，
故 p(x)在 [12， ＋ ∞) 上单调递增．
因为 p(1)＝ 0， 所以当
x∈
[
1， 2
1)时
，有
p(x)＜ 0，
即 h′x（)＜ 0， 所以 h( x)单调递减；
当 x∈ (1，＋ ∞ )时 ， 有 p(x)＞0，
即 h′x（)＞ 0， 所以 h( x)单调递增．
所以 f(x)的单调递减区间为 (0， ＋ ∞ )；
1 ③当 a∈ (1， ＋ ∞ )时 ，a＜ 1. 由 f′x（)＜ 0, 得 x＞ 1 或 x＜1a.
1 所以 f(x)的单调递减区间为 (0， a)， (1， ＋ ∞ )．
综上 ，当 a∈ (0， 1)时， f(x)的单调递减区间为 (0， 1)， 1a， ＋ ∞ ；