第二章答案1.计算下列函数()f x 关于[]0,1C 的12,,f f f ∞：注：()max ,a x bff x ∞≤≤=()1baff x dx =⎰，()()1222baffx dx=⎰()()()()()()()()()()()3101112231,41nm xf x x f x x f x x x m n f x x e -=-=-=-=+与为正整数解：（1）()()31-=x x f()()()11max max 3=-==∞x x f x f11311()(1)7ff x dx x dx ==-=⎰⎰ ()()111122262()(1)ff x dxx dx==-=⎰⎰（2）()12f x x =-()()11max max 22f x f x x ∞==-=111211021122212201111()()()22241[()]()26b a f x dx x dx x dx ff x dx x dx =-=-+-=⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（3）()()1,nmf x xx m n =-与为正整数()max (1)m nm nm n m n f x x m n +=-=∞+()110!!(1)1!m n m n fx x dx m n =-=++⎰()()()1112222202!2!(1)()221!m nm nf x xm n⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦++⎰（4）()()101xf x x e-=+10110max(1)2xf x e e--=+=∞1102681318410(1)9864101xf x e dxe-=+=-⎰()[]2121102]1[dxexf x⎰-+=28232095067136711831996857623833e-=2.令()()[]21,0,1n nT x T x x*=-∈，试证(){}nT x*是在[]0,1上带权()xρ=的正交多项式，并求()()()()0123,,,T x T x T x T x****。

解：()()()()()()()()()() 11****0011**,(21)(21)211,,2m n m n n mm n m n m n m nT T x T x T x dx x T x dxt xT T t T t dt t T t dt T T ρ--==--=-===⎰⎰⎰⎰令，则有(){}nT x*是在[]0,1上带权()xρ=的正交多项式。

*00*11*222*3233()(21)1()(21)21()(21)881()(21)3248181T x T xT x T x xT x T x x xT x T x x x x=-==-=-=-=-+=-=-+-3.(){}i ixϕ∞=是区间[]0,1上带权()x xρ=的最高次项系数为1的正交多项式族，其中()1xϕ=，求()()13x x dx xϕϕ⎰1和。

解法一：1133000()()()()x x dx x x x dxϕρϕϕ=⎰⎰{}1130300()[0,1]()1()()()0()0i ix x xx x x dx x x dxϕρρϕϕϕ∞==∴==⎰⎰是区间上带权的最高次项系数为的正交多项式，即0()1x ϕ=由于1200101000(,())2()()((),())3x dx x x x x x x x x x xdxϕϕϕϕϕ⇒=-=-=-⎰⎰解法二：设()x x c ϕ=+1，则由()1120323c x x c dx c +=+=⇒=-⎰ 4.求,a b ，使积分()220sin ax b x dx π+-⎰取得最小值。

解：题意即为在{}1,span x Φ=中求()sin f x x =的最佳平方逼近多项式()101P x a a x =+，故01,a a 满足法方程00001101001111((),())((),())(,())((),())((),())(,())x x a x x a y x x x a x x a y x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧⎨+=⎩ 2012301128:1824a a a a ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩积分可得 02138240.6644389,0.1147707.9624a b a b a a ππππ-⎧==⎪⎪⇒≈≈⎨-⎪==⎪⎩或者按下述方法： 因为()b b a ab a dx x b ax 24224241sin 2232202-++-+=-+⎰πππππ上式分别对,a b 求偏导，并令其为零，有02412123=-+=∂∂ππba a 02412=-+=∂∂ππb a b 从而也有 32496ππ-=a ，2248ππ-=b5.对()()[]1,,f x g x C a b ∈，定义()()()()()()()()()()1,2,baba f g f x g x dxf g f x g x dx f a g a ''=''=+⎰⎰问它们是否构成内积？（1）()()()()12122,,,,,)(,)(,)())0f g g f cf g c f g c f f g f g f g f f f f f f f f x dx +=+≥'=⎰ba 显然有=,=,是常数（但不满足“当且仅当=0时（,)=0,(,)0"这是因为（,)=(推出()0f x '=,即f 为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。

（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条 ()2'2(,)()baf f f x dx f a ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 若()0f x =，则必有(),0f f =反之，若(),0f f =，则()0f x '=且()20f a =，由此可推得()0f x =, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。

6.对权函数()21x x ρ=+，区间[]1,1-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3x n ϕ=n 。

解：()()()0130110001,(),1x x dx x x x x xϕϕϕϕϕϕ-=+=-=-=⎰ 222012010011(,())(,())()()()((),())((),())x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--11222322111122211(1)(1)2;5(1)(1)x x dx x x dxx x x x dxx x dx----++=--=-++⎰⎰⎰⎰33330123012001122(,())(,())(,())()()()()((),())((),())((),())x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=---11123223231321111122222211132(1)()(1)(1)25()25(1)(1)(1)()5914x x x dx x x dxx x xdxx x x x dx x x dx x x dx x x------+-++=----+++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰7.利用正交化方法求[0,1]上带权1()lnx xρ=的前三个正交多项式012(),(),()P x P x P x 。

解：()01P x =()()()()1001010001ln ,11,4ln dx x P x P x x P x x x P P dx x=-=-=-⎰⎰ ()()()()()()()221220100111122002221100,,,,111ln ln 1517414725211ln ln 4x P x P P x x Px Px P P P P x x dx x dx x x x x x x dx x dx x x =--⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=---=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 8.判断函数211,,3x x -在[]1,1-上两两正交，并求一个三次多项式，使其在[]1,1-上与上述函数两两正交。

解：（1）()0,111==⎰-dx x x ，03131,11122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x ，03131,1122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x x x ，()211,111==⎰-dx ()32,112==⎰-dx x x x ， 4583131,31211222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰-dx x x x 所以，211,,3x x -在[]1,1-上两两正交。

（2）设所求多项式为()x 3ϕ()()()()()()()()()()x x x dx x dx x x x dx x dx x dx dx x x x x x x x x xx 53313131,,,,,,32112211231121141111332222311113333-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛----=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰------ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 9. 用最小二乘原理求矛盾方程组121212121,2,223,3 4.x x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩ 的最小二乘解。

注：给定线性代数方程组Ax b =，m n A A ⨯=，当m n >时，称其为超定方程组。

求x *使得22b Ax -取最小值。

应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明x *为方程组 TTA Ax A b =的解。

称x *为超定方程组Ax b =的最小二乘解。

解法一：由题意得：12111112223314x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121111123111123211212211213314x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦121597971x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11212229159712971134x x x x x x ⎧=-⎪-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩ 所以122912134x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即是所求的最小二乘解。

误差平方和为222212121212(1)(2)(223)(34)x x x x x x x x δ=--+-+-+--+-+- 解法二：求12,x x ，使误差平方和222212121212(1)(2)(223)(34)x x x x x x x x δ=--+-+-+--+-+- 为最小，令0,021=∂∂=∂∂x x δδ得方程组如下：121230181418142x x x x -=-⎧⎨-+=-⎩ 解方程组有：413,122921-=-=x x 10. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。