是微分方程
d2x dt2
k2x
0
的解
,
并求满足初始条件
x
t0 A ,
dx dt
t 0 0 的特解 .
x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的通解 .
利用初始条件易得 C1 A, C2 0 , 故所求特解为
x Acos k t
9
例2. 已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为Q ,
11
练习与思考题
1、函数 y 3e 2 x 是微分方程 y 4 y 0的什么解?
解答：
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解. 12
2、二阶微分方程 y 4 y 3y 0 试问下列函数
微分方程引言
《高等数学》课程的教学内容到现在我们已经学习了哪些内 容？一元函数微积分、多元函数微积分、向量代数和空间解析 几何以及无穷级数，下面我们将学习高等数学的最后一部分内 容——微分方程。
第十二章 微分方程
通过前面的学习我们知道，微积分的研究对象是函数关系， 利用微积分可以解决许多实际问题，但是，在现实生活及科学 研究中，仍有大量的实际问题往往很难直接得到所研究变量的 函数关系，却能比较容易建立起这些变量与他们的导数或微分 关系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，这就 是微分方程。通过求解这种方程同样可以得到指定未知量的函 数关系。因此微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要 途径和桥梁，是各学科进行科学研究的强有力的工具
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d 2s dt2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t 0 20
由前一式两次积分,可得
s 0.2 t 2 C1 t C2 ( C1 , C2 为任意常数 )
利用后两式可得 C1 20, C2 0 , 因此所求运动规律为 s 0.2 t2 20 t
2、只有一个自变量的微分方程称为常微分方程。
3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分 方程的阶.
x2 ( y)2 xy y 0 二 阶
y ( y)4 xy 0 三阶
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引例1
d d
y x
2x
y x1 2
y x2 C
y x2 1
引例2
d 2s dt2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
d2x dt2
C1k 2 cos kt
C2k 2 sin
kt
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) k 2 x
这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
显然
C1
,
C2是两个独立的任意常数
,
故它是方程的通解 8
例1. 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt ( C1 , C2 为常数)
1. y c1ex c2e3x 2. y ex 3. y e3x 4. y cex
是否是方程的解,是通解还是特解?
解: 分别将四个函数代入方程,均 左边=右边
则这四个函数均为方程的解.
y c1ex c2e3x 其中有两个任意常数是方程的通解.
y ex c1 1,c2 0 是方程的特解.
问题: （1）能否求出制动后多少时间列车才能停住 ？
（2）制动后行驶了多少路程 .
引例1
d y 2x dx y x1 2
引例2
d 2s dt2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t 0 20
几 个 基 本 概 念:
1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 ,
如 y xy2 , xdy ydx 0
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
d y 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x d x x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1 , 因此所求曲线方程为 y x2 1. 3
引例2. 列车在平直线路上以 20 m s 的速度行驶,制动时 获得加速度 a 0.4 m s2 ,求制动后列车的运动规律.
且线段PQ 被 y 轴平分, 求该曲线满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x,y) 处的法线方程为 y
Y y 1 (X x)
P
y
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Qo xx
X x yy
x yy x
即
yy 2x 0
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四、小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线;
t 0 20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
4、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函数为 微分方程的解。
（1）解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数 相同 , 这样的解称为微分方程的通解 ; （2）不含任意常数的解称为特解。
5、用来确定 特解的条件称为初始条件; 6
1
本章我们主要介绍微分方程基本概念、几种特殊一阶微分方 程及二阶方程求解方法及简单的应用。 下面我们学习第一节内容：微分方程的基本概念。
第一节 微分方程基本概念 在这节中，我们首先给出两个引例，然后给出微分方程的 基本概念，重点是通过引例对微方程基本概念的理解。
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第一节 微分方程的基本概念
引例1: 一平面曲线通过点(1,2) 处,且该曲线上任意点 P(x, y)处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
y e3x c1 0,c2 1 是方程的特解.
对 n 阶方程有n个初始条件
y(x0) y0 , y(x0) y0 , , y(n1) (x0) y0(n1)
6、微分方程解的图形称为方程的积分曲线 .
通解的图形就是积分曲线族,
特解的图形就是积分曲线族中的一条确定
的曲线, 如例1中。
微分方程 d y 2x dx
通解 y x2 C
初始条件 y x1 2
特解 y x2 1
积分曲线族见黑板所示：
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例1. 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt ( C1 , C2 为常数)
是微分方程
d2x dt2ຫໍສະໝຸດ k2x0的解
,
并求满足初始条件
x
t0 A ,
dx dt
t 0 0 的特解 .
dx
解: d t C1k sin k t C2k cos k t