第十二章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成)y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. e y=e 2x+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x1yy 2，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )A. 2πB. πC. 4e π 4eππ5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4π解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=4π得：22C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dxdy +=-+满足y(0)=π的特解。
解：由02y x cos 2y x cos dxdy =+--+得：2x sin 2y sin2dy-=，积分得：C 2x cos 2x y cot 2y csc ln +=- 代入初始条件：y(0)=π，得C= -2 7、求微分方程022/=++y x eyy 满足y(0)=0的特解解: 分离变量得dx e dy ye x y 22=--两边积分)2(21)(21222⎰⎰=--x d e y d e x y ，得C e e x y +=-22，将y (0)=0代入得C =0特解：x y 22-=§3 齐次方程1 .(x 2+y 2)dx-xydy=0，其通解为（ ）2=x 2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y 2=2x 2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.xy yx y +=', y|x=1=2，则特解为（ ）A. y 2=2x 2(lnx+C)2=2x 2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+23.0dy y x 1e 2dx e 21y xy x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的通解为（ ）A. x=2y+CB. 2xye yx=C ye 2yx =+ D.以上都不对 4、求y 'x 2+xy=y 2满足y|x=1=1的特解。
解：u xy ,xy x y y 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛='令，则x dx )2u (u du =-解得：2x 1x 2y += 5、求微分方程(x 2+2xy-y 2)dx-(y 2+2xy-x 2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解解：xy u ,xx y 2y y x y 2x dx dy 2222=-+-+=令，可得1u 2u 1u u u dx du x 223------= 解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u 2)，即x(1+u 2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x 2+y 2=x+y7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x 轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y '(X-x)又y y x y x 22'-=+，得yxu ,dy dxy x 1y x 2=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛令整理得：2u 1dyduy+=-，解得：()C y ln u 1u ln 2=+++，得通解C y x x 22=++§4 一阶线性微分方程1、微分方程(y 2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（ ） A.⎪⎭⎫⎝⎛++=C y 311y 1y 32⎪⎭⎫ ⎝⎛++=C y 311y 1x 32；C. ⎪⎭⎫⎝⎛++=C y 311x 1y 32D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32y 311y 1x2、微分方程xy '+2y=xlnx 满足y(1)=91-的解为（ ） A. x 91x ln x 31y+=， x 91x ln x 31y -=， C. x ln x 31C y x 32+=，. x 91x ln 31y -=3、y '+y=y 2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Ce x -sinx x -sinx C. Cye x -ysinx=C D.y=e x -sinx+C4、求 通解 32.23y x y dx dy x =+ 解：23231x y 23dx dy x y=+-，令32y z =得2x z 23dx dz 23x=+，2x 32z x 1dx dz =+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰=⎰-dx x 12dx x 1e x 32C e z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=C x 4132x 1y 332，即x C x 61y 232+=，5、求 通解 xdy-ydx=y 2e y dy解：整理得yye x y 1dy dx -=-，C ye dy e ye C e x y dy y 1y dy y 1+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-+⎰=⎰---9、已知连续函数f(x)满足方程x 2x 30e dt 3tf )x (f +⎪⎭⎫⎝⎛=⎰，求f(x)解：原方程两边对x 求导数f '(x)=3f(x)+2e 2xf '(x)-3f(x)=2e 2x 解得：f(x)=Ce 3x -2e 2x 又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e 3x -2e 2x2、数ϕ(x)具有二阶连续导数，且ϕ(0)=ϕ'(0)=0，并已知y ϕ(x)dx+(sinx-ϕ'(x))dy=0是一个全微分方程，则ϕ(x)=( ) x B.2x x 23- C.x 2e x D.x sin C x cos C x sin 2x 21++3、别下列方程的类型并求其通解 （1）(a 2-2xy-y 2)dx-(x+y)2dy=0解：是全微分方程3222y 0x 0y 31xy y x x a dy )y ,x (Q dx )0,x (P )y ,x (u ---=+=⎰⎰，通解为: C y xy y x x a =---322231（2）(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0解：是全微分方程d(ρ+ρe 2θ)=0，通解为ρ+ρe 2θ=C4、f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L,0))(()(2=-+⎰Ldy x x f dx x yf ， 求⎰10dx )x (x f解：对任意闭曲线L 有0dx )x )x (f (dx )x (yf L2=-+⎰，知yP x Q ∂∂=∂∂，由此得f '(x)-2x=f(x)解得：f(x)=Ce x -2x-2,再代入初始条件可得C=3。
于是f(x)=3e x -2x-2，34dx )x (xf 1=⎰ §6 可降阶的高阶微分方程1、yy "+y '2=0满足初始条件y|x=0=1，y '|x=0=21的特解为（ ）A. y 2=x+C 1x y += C. C 1x y ++= D. y 2=C 1x+C 2 2、方程xy "=y 'lny '的通解为（ ）2x C 1C e C 1y 1+= B.2x c 1C e C y 1+= ， C.x C e C y 2x C 11+= D.以上都不对3、 (1) 求y "=y '+x 的通解解：令y '=p 得p '-p=x p=-x-1+C 1e x22x1C x 2x e C y +--=(2) 求xy "+y '=0的通解解：令y '=p ，则xp '+p=0，xdx pdp -= 得 xC p 1= y=C 1lnx+C 2§7 高阶线性微分方程1、证明：x5x 22x 1e 121e C e C y ++=是方程y "-3y '+2y=e 5x 的通解 2、已知二阶线性非齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)的特解为y 1=x,y 2=e x ,y 3=e 2x ,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y '(0)=3的特解。
解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y "+p(x)y '+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y "+p(x)y '+q(x)y=0的解。
得齐次方程的两个解：e x -x,e 2x -x ，且线性无关。
于是齐次方程的通解Y=C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).非齐次方程的通解是y=x+C 1(e x -x)+C 2(e 2x -x).由y(0)=1，y '(0)=3代入得：C 1= -1, C 2=2，所以特解为y=2e 2x -e x§8 常系数齐次线性微分方程1、设y=e x (C 1sinx+C 2cosx) (C 1,C 2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该方程为（ ）A.y "+2y '+y=0 "-2y '+2y=0 C.y "-2y '=0 D.y "+y=0 2、设y 1=e x cos2x,y 2=e x sin2x 都是方程y "+py '+qy=0的解，则（ ）A. p=2,q=5, C.p=-3,q=2 D.p=2,q=2 3、设常系数线性齐次方程特征方程根r 1,2= -1,r 3,4=±i ，则此方程通解为 （ ）1+C 2x)e -x +C 3cosx+C 4sinx B.y=C 1e -x +C 2cosx+C 3sinx C. y=C 1e -x +C 2cosx+C 3xsinx D.C 1e -x +(C 2+x)cosx+C 3sinx 4、求下列微分方程的通解(1) y "-4y '+13y=0。