例6：判断点C是否在线段AB上。
① a b c b ② a c
●
b
c a c b
a
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例7：判断点K是否在线段AB上。
a k● b a
●
k
b
a k● b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
还可应用定比定理来解答此题
三、两直线的相对位置
ac 反映 AC 实长 线。
二、直线上的点
判别方法：
V
b
c
C A B
若点在直线上, 则点的投 影必在直线的同名投影上。 a 并将线段的同名投影分割 成与空间相同的比例。即：
b a c H
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不 在直 定比定理 线的同名投影上， 则该点必 不在此直 线上。
b cm
●
n
●
正平线
a a
c m
● ●
n
b
试想:可作多少条这样的直线MN?
唯一的一条!
⒉
两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。 ② 若两投影面垂直 面相互平行，则它们 具有积聚性的那组投 影必相互平行。
b
c d a c a b b d a c e d
中心投影法
投影中心 投影大小 随物体位 置改变
物体 投影
投射线
P
P
投射中心、物体、投影面三者之间的相对 距离对投影的大小有影响。
平行投影法
P
P
正投影 斜投影 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
教学楼（透视图）
机械零件—箱体（轴测）
齿轮（轴测）
W
V面与W面的交线
H
o
X
Y
投影面及展开图
空间点A在三投影面体系上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影 点A的侧面投影
X
Z V
a ●
●
A o
●
a W
a
a● H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。
空间点在三投影面上的展开
点的投影规律
Z
a ●
V
Z
az
O
●
a
a
●
一、平行问题
⒈ 直线与平面平行 定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则 该直线与此平面必相互平行。
直线与平面平行 平面与平面平行
例15：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
●nc来自Abc为平面内 a 的任一直线
a
m
●
b
●
n
●
c
m
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
例16：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
B点在A点之前、 之右、之下。
重影点
空间两点在某一 投影面上的投影重合 为一点时，则称此两 点为该投影面的重影 点。
被挡住的投 影加( )
Z
V
a(b’)
●
az
A O
●
X
ax
●
a W
a y b’’
B a
●
H
b
Y
A、B为V面的重影点
例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。
(1)
b’ c’ a’ a’’ b’’
交点K是两直 线的共有点
b k d
A a
H
a c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必相交， 且交点的投影必须符合点的投影规律。
3. 两直线交叉（异面）
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但
“交点”不符合空间点的投 影规律。
V d
a
H
1(2 ) 3 4
●
●
●
c c
①
k● a a k
●
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b c a b b c ② b d k ●
c
a
k
●
d c
利用平面的积聚性求解
通过在面内作辅助线求解
例12：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。
解法一
a k b
解法二
c a
b
c
d d a c k b a
●
b 2
●
b d
★ “交点”是两直线上的一 对重
影点的投影，用其可帮助判断两 直线的空间位置。
a
1 3(4 )
●
思考：
两直线相交吗？为什么？
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影 特 性
★ 平面平行投影面-----实形性 ★ 平面垂直投影面-----积聚性 ★ 平面倾斜投影面-----相似性
(2)
a’
a’’ b’ c’
b’’(c’’)
c’’
b
a(c)
a b c
2.4
直线的投影
a ●
● ●
两点确定一条直线，将两点 的同名投影用直线连接，就得到 直线的同名投影。
a
●
b
b
一、直线的投影特性
●
a●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
B
A●
● ●
b
●
B
A●
M● B●
A●
a●
α b
●
b
a●
a≡b≡m
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类： 投影面垂直面
正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
特殊位置平面 投影面平行面 一般位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
投影面垂直面
b c c a
空间两直线的相对位置可分为： 两直线平行 两直线相交 两直线交叉（异面）
⒈
两直线平行
b a V
d
A
a
B c
C c b D
投影特性：
d
H
空间两直线平行， 则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。
例8：判断图中两条直线是否平行。
①
a
b c
d
a
b
c
d
对于一般位置 直线，只要有两个同 名投影互相平行，空 间两直线就平行。 AB//CD
例9：判断图中两条直线是否平行。 ② 对于投影面平行线，只有
两个同名投影互相平行，空间 直线不一定平行。 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行
c c
a
d
a b d
b c
b d a
要用两个投影判断空间两直线是否平行时， 其中应包括反映实长的投影。
⒉ 两直线相交
V a c k C b d K D d k c c B a b
投影面平行线
V b' a' A

a" W b" O
B X

a

b
H
Y
投影面垂直线
铅垂线
a
b
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a b
d c
d c e f
a(b)
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的 投影轴。
a
b
b'
c'
C
a' A a"
a
c" O
W
c b
B c a
b"
投影特性：
实形性
b
Y
在它所平行的投影面上的投 影反映实形。另两个面上的 投影分别积聚成与相应投影 轴平行的直线。
一般位置平面
Z
V
b'
a
b
b
c
c
a
a' c' A
X
B
b"
a
b
C c
a" c"
c
a
投影特性：
b Y
三个投影都相似。
●
c
a
（3）直线和平面都在一般位置
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平面内的依据 定理一: 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平 面内. 定理二: 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上 的另一直线，则此直线在该平面内.
例10：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面 内任作一条直线。 解法一：
b m a m a n c n c a
e
f
f e
f
h
a c
b
d
f e
h
二、相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交 其交点是直线与平面的公共点。 要讨论的问题：
● ●
⒈ 直线与平面相交
P
求直线与平面的交点; 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关 系。
例17：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● k 由水平投影可知，KN段 1 b a n 在平面前，故正面投影 上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。