班级学号 第八次 电荷和静电场（一） 得分 姓名基本内容和主要公式1．电荷的基本特征：(1) 分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2. 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。

3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。

4 库仑定律：表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律5. 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电场的基本性质。

0F E q =6. 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解πεπε===∑⎰ni i 33i 10iq 11d q Er Er 44r r（3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7. 电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。

（2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8. 电通量： φ=⋅⎰⎰e sE dS(1) 电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电πε=1212123012q q 1F r 4r通量理解为穿过曲面的电场线的条数。

(2) 电通量是标量，有正负之分。

9. 高斯定理：ε⋅=∑⎰⎰sS 01E d Si（里）q（1）定理中的E是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关10. 静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与其经历的路径无关。

由此可得 ⋅=⎰LE d l 011. 电势能、电势差和电势：（1）电势能：试探电荷0q 在电场强度为E的电场中的P 和Q 两点的电势能差：-=⋅⎰Q P Q 0PW W q E d l（2）电势差和电势：a ．上面P 点与Q 点的电势差可以表示为--==⋅⎰Q P QPQ PW W V V E d lq对应于把电荷从P 点移到Q 点电势的降低，地势的降低称为电势降落，也就是经常使用的电压的概念。

b ．电势差具有绝对意义，完全有电场自身的性质所决定，而电场中一点的电势只有相对意义，即相对于电势零点而言的。

理论上，若电荷分布在有限空间内，可选择无限远处为电势零点。

则电场中任一点P 的电势可以表示为 ∞∞=-=⋅⎰P P PV V V E d l12. 等势面：（1）电场中电势相等的点连成的曲面，就是等势面。

它形象地表示了电场中电势的分布。

（2）等势面的性质：a ．电荷沿等势面移动，电场力不作功； b ．等势面与电场线处处正交。

13. 电势与电场强度的关系：l V E l∂=-∂ 和∂∂∂=-++=-∇∂∂∂V V V E (ijk)V x yz 上式的负号说明电场强度与电势梯度的方向相反。

练 习 题一、选择题1．正方形的两对角上，各置电荷Q ，其余两对角上各置电荷q 。

若Q 所受合力为零。

则Q 与q 间的关系为： [A ]（A ）q Q 22-= （B ）q Q 2-= （C ）q Q 4-= （D ）q Q 2-=2．两个等量的正电荷相距为2a ，P 点在它们的中垂线上，r 为P 到垂足的距离。

当P 点电场强度大小具有最大值时，r 的大小是： [ C ]（A ）42a r =（B ）32a r =（C ）22a r = （D ）a r 2=3.如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于 ［ C ］A .06εq B .12εqC .024εq D .048εq4.有两个点电荷电量都是＋q ，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积S 1和S 2，其位置如图所示，设通过S 1和S 2的电场强度通量分别为Φ1和Φ2,通过整个球面的电场强度通量为Φe ，则 ［ D ］ A .Φ1＞Φ2,Φe =εqB .Φ1=Φ2,Φe =εqC .Φ1＜Φ2,Φe =2εqD .Φ1＜Φ2,Φe =εq5.在两个电荷量相等的点电荷连线的垂直平分线上，具有最大的电场强度的点的位置为［ ］A. r =B . r =C . r =D . r =6.某电场的电力线分布情况如图所示，一负电荷从M 点移到N 点，有人根据这个图作出 下列几点结论，其中哪点是正确的？ ［ C,D ］A.电场强度 m n E E > B .电势m n U U > C.电势能 m n W W > D .电场力的功0A >7.在XOY 平面上的电场强度为E =(3+8xy )i +(4x 2+8y 2)j .若取O 点作为电势零点，则点P (x ,y )的电势为 ［ C ］A . 34343x xy y ++B . 334343xy x y y ++ C . 238(34)3x x y y -++ D .234(34)3xy x y y -++8.电量为q ，半径为R 的均匀带电球面。

若规定距球面为R 处为电势零点，则电势分布为 ［ C ］A .001041142q r R R q R r rR πεπε≤<⎛⎫-≤<∞⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩ B . 0010421142q r R Rq R r R r πεπε<<⎛⎫-≤<∞⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩C .0010421142qr R Rq R r r R πεπε≤≤⎛⎫-≤<∞⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩ D . 001042114q r RRq R r r R πεπε≤≤⎛⎫-≤<∞ ⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩9.沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ(x ＜0）和 -λ（x ＞0）,如图所示，则oxy 平面上点(0,a )的场强E 为 ［ B ］A . 0B .i a02πελC . i a04πελD .0()4i j aλπε+10.图示为一具有球对称分布的静电场的E －r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的 ［ D ］A .半径为R 的均匀带电球面B .半径为R 的均匀带电球体C .半径为R ，电荷体密度ρ=Ar (A 为常数)的非均匀带电球体D .半径为R ，电荷体密度ρ=A /r (A 为常数)的非均匀带电球体11.静电场的环路定理0E dl ⋅=⎰,表明静电场是 ［ A ］ A .保守场 B .非保守场 C .均匀场 D .非均匀场二、填空题1.如图所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直线垂直通过图面上的A 点，一带电量为Q 的均匀带电球体，其球心处于O 点，△AOP 是边长为a 的等边三角形，为了使P 点处场强方向垂直于OP ,则λ和Q 的数量之间应满足aQ =λ关系，且λ与Q 为 异 号电荷.2.正方形的两对角上，各置点电荷Q ，在其余两对角上各置点电荷q ,若Q 所受合力为零， 则Q 与q 的大小关系为qQ 22=.3.两个带有等量同号电荷，形状相同的金属小球1和2,相互间作用力为F ，它们之间的距离远大于小球本身直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同金属小球3去和小球1接触，再和小球2接触，然后移去，这样球1和2之间的作用力 变为F83.4.一个正立方形封闭面的中心处，放一带电荷量为q 的点电荷，则穿过整个闭合面的电通量Φ=εq,若将q 移至一个顶点A ，则通过该闭合面的电通量Φ＝08εq.5.两无限大均匀带电平行平面A 和B ，电荷面密度分别为＋σ1和＋σ2，整个空间被分成3个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，设X 轴正方向如图所示，则各区域的电场强度为：E Ⅰ=0212εσσ+-, E Ⅱ=212εσσ-, E Ⅲ=212εσσ+.6.如图所示，一等边三角形边长为a ，三个顶点上分别放置着电量为q 、2q 、3q 的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O 处的电势0U =aq 0233πε.7.一均匀静电场中，电场强度E ＝（400i +600j ）V /m ,则点a (3,2)和b (1,0)之间的电势差ab U =V2000-.8.两半径分别为R 和2R 的同心均匀带电球面，内球带电荷Q ，欲使内球电势为零，则外球面上电量q =Q 2-.9.相距为d 的两相互平行的“无限长”均匀带电直线1和2，其线电荷密度分别为1λ和2λ，则场强等于零的点与直线1的距离为211λλλ+=d r .10.定性画出下列两个无限大带电平面的电力线分布图和E ～x 曲线11.边长为a 的等边三角形，三个顶点上分别放置着电量为q 、2q 、3q 的三个正点电荷，设无限远处为电势零点，则三角形中心O 处的电势为=O U aq 0233πε。

12.在电量为q 的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为0r 的一点为电势零点，则与点电荷距离为r 处的电势U =)11(40r rq -πε。

三、证明题1.如图所示，两根平行长直线的间距为2a ,一端用半圆形线连接起来，全线上均匀带电试证明在圆心O 处的电场强度为零. 证：1dl ：120144ad d dE aaλθλθπεπε==2dl ： 22214dl dE rλπε=cos a r θ= ，2cos dl rd θθ=所以 22004cos 4rd d dE r aλθλθπεθπε==1dE、2d E 的方向相反，两两对应所以 O 点处电场强度 0E =四、计算题1.如图所示，一根细玻璃棒弯成半径为R 的半圆形，两半部分均匀地带有异号等量的 电荷q ，试求半圆中心处的电场强度.解： 22qRRRλππ==取一正电荷元 dq Rd λθ=，在O 点产生电场214Rd dE Rλθπε+=cos x dE dE θ++= ，sin y dE dE θ++=-同理，对称地取一负电荷元 dq Rd λθ-=-，在O 点产生电场214Rd dE dE Rλθπε-+==cos x dE dE θ--=- ，sin y dE dE θ--=-由于对称性，x 方向相互抵消 0x E =220012sin 2sin 4y E dE d Rππλθθθπε+=-=-⎰⎰2000222sin (cos cos 0)442qR d RR πλππθθπεπε⋅=-=-+⎰220q R πε=- 所以 220qE j Rπε=-2.在半径为R 的球体内，电荷对称地分布，其体密度为(0)kr r R ρ=≤≤和0()r R ρ=>,k 为一常量，试用高斯定理求体内外空间的电场强度.解： r R > 214R SE dS r dr ρπε⋅=⋅⎰⎰⎰2340141444R k E r kr dr R πππεε⋅=⋅=⋅⎰所以 4204kRE rε=方向沿径向0r R ≤≤ 214r SE dS r dr ρπε⋅=⋅⎰⎰⎰2340141444r k E r kr dr r πππεε⋅==⋅⎰所以 24krE ε=方向沿径向3.半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷体密度为ρ，求其电场强度分布.并画出E -r 曲线.解： r R > 由高斯定理得21SE dS R l πρε⋅=⎰⎰212E rl R l ππρε⋅=所以 202RE rρε=方向沿径向0r R ≤≤ 21SE dS r l πρε⋅=⎰⎰212E rl r l ππρε⋅=所以 02rE ρε= 方向沿径向4.如图所示，两个相等的点电荷＋q 相距2d ，一个接地导体球放在它们中间，球心在它们的连线上.（1）如果要使这两个点电荷所受的作用力的矢量和都为零，求导体球的半径（设r ＜＜d ）;(2)如果使导体球具有电势φ,球的半径同（1）中所求，问每个点电荷受力多少？解：（1）导体球感应电荷Q 分布在导体球表面上，因为导体球接地， 所以002044q Q drπεπε+=r d << 两个点电荷所受的作用力为零所以2220004(2)4qqQ d dπεπε+=4q Q =-20q Q dr+= 28Q d d r q=-=(2) 00002442248q Q q Q d dddϕπεπεπεπε=+=+024d q Q πεϕ=-2222000()4(2)444qqQq q F Q d ddπεπεπε=+=+020428d q q ddπεϕϕπε==五、思考题1.有人提出：“对于电场中的某定点，场强的大小0q FE =，E 不是与试探电荷0q 成反比吗？为什么说E与0q 无关”请回答这个问题。