拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
推论1:若函数 在 I 上必为常数.
在区间 I 上满足
则
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
机动
f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
1、函数极值的定义
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
2、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 ' f x 在 0 处取得极值,那末必定 ( x0 ) 0 .
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(3) 证明有关中值问题的结论
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
3 15 4 . _____
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2. 设 f ( x) C[ 0 , ], 且在 ( 0 , )内可导, 证明至少存
一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯
西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学
校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
a0b x Nhomakorabeaf (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
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推论2:
若函数 则
对于任意的 其中c为常数。
证: 设 则： 由推论1可得： 其中c为常数，即：
得证。
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
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有且仅有一个小于1 的 例1. 证明方程 正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
第一节 微分中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
第三章
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1、函数极值的定义
定义
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中
在微积分学, 复变函数和微分方程方面 .
设函数f ( x)在区间(a, b)内有定义, x0是 (a, b)内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x, f ( x) f ( x0 )恒成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x, f ( x) f ( x0 )恒成立, 就称
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3. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F ( x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫
做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
但函数的驻点却不一定是极值点.
3 y x , y 例如,
x 0
0, 但x 0不是极值点.
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
柯西
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
即
因为
故
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三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
f (b) f (a ) f ( ) . 使 F (b) F (a ) F ( )