三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
综上:此函数的值域是代数换元法代换：t 21 y sin xcosx sinx cosx 令：sinx cosx t,则yt 再用配方、 例题：求函数的最大值.(5) 降幕法例2.已知函数，.(I )求的最大值和最小值;解：(I)又，，即,(n),,且，，即的取值范围是.(5)典型应用题解：设，则，则, 当时，有最大值为. 型如 ・ 2y a sin x bsinx cosx c(a 0)型。
此类型可利用倍角公式、降幕公式进行降次、 整理为y Asin 2x B cos2x 型再利用辅助角公式求出最值。
时x 的值。
求函数 f(x) 5 . 3cos 2 x . 3sin 2x 4sin xcosx( —4£)的最值，并求取得最值解：由降幕公式和倍角公式，得-1 cos2x f(x)5 3-1 cos2x、3 ---------- 2si n2x2 .3 cos3x 2sin 2x 3.34cos(2x 7 — x 4242 32x3 4J cos(2x 2f (x)的最小值为 3.32 2，此时x, f (x)无最大值。
24(II )若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.扇形的半径为1中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值.解：连接，设，则,，，所以当时，在圆弧中心位置，•类型6:条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）例1.已知，求的最大值与最小值.解：（1）由已知得：，，贝U.，当时，有最小值；当时，有最小值.例2:已知3sin22sin22si n，求y・2 sin2sin 的取值范围。
解•/ 3sin22sin2 2 si n・2,••• sin3sin 2sin2•/ 0 sin123 . 2sin sin0o2解得0sin23 . 23sin sin12・2・2 1 . 21 2 1y sin sin sin sin—(sin1)-2222-0 sin o3sin a =0 时，y min；sin-时，y max40 sin2・2 sin4o399例3 : 求函数y.X . 1 X 的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。
解：T定义域为0< x< 1,可设x cos2 X且0 —21 x21 cos sin2,02• •• y cos2■- sin2sin cos 2 si n()4••• 0—,•243 .返4 4 ' 2si n(-)1即1 y -2•••当 ——或 ——，即B =0或(此时x=1 或 x=0), y=1 ；444 42当-,即时，(此时x 1),y 、2 ,242当x=0或x=1时， y 有最小值1;当 x 1时, y 有最大值 、2。
2【反馈演练】1•函数的最小值等于 -12. ______________________________________________ 已知函数，，直线和它们分别交于 M N,则 _________________3. 当时，函数的最1小值是_4_ . 4.函数的最大值为— 5•函数的值域为 ______ 6•已知函数，则的值域是 ，最小值为3-(31,1) 7•已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等 &(1)已知，函数的最大值是 ____________ (2)已知，函数的最小值是3 . 9•在△ OAB 中O 为坐标原点，，则当△ OAB 勺面积达最大值时， ______________ 10.已知函数.2(I)求函数的最小正周期；(H)求函数在区间上的最小值和最大值. 解：(I). 因此，函数的最小正周期为. (n)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又,故函数在区间上的最大值为，最小值为. 解法二：作函数f(x) .2sin 2x n 在长度 4为一个周期的区间 n 9n 上的图象如下：8 41 •5由图象得函数f(x)在区间 匸,3』上的最大值为2，最小值为f 8 4411 .若函数的最大值为，试确定常数 a 的值.解：因为的最大值为的最大值为 1,则所以 12.已知函数. (1)若.求使为正值的的集合;(2)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围 解: (1)又 •••(2)当时，• 则，••••方程有实根，得•【高考赏析】(1)设函数 f (x), 3 cos 2 x sin xcos x侧的第一个最高点的横坐标为一。
6(I )求 的值。
(II )如果f (x)在区间上的最小值为 -.3 ，求的值。
3n(其中0, R )，且f(x)的图象在y 轴右解：(I) f(x) f cos2sin 2!si n22虫~2~xf依题意得2解之得612.(II)由(I )知,f(x)=si n(x+ 又当x 56时, 27 o,—6sin(x 1,3)53 , 6因此，由题设知1 -i2 2从而f (x)在上取得最小值2.已知函数f(x)= 3sin(2x —自+2$" 2(I )求函数f(x)的最小正周期；⑵2「3 12 €R)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.7t 解:(I) f(x)= 3sin(2 x-^)+1 —cos2(x—石)=2[3 n 1 n -ysin2( x —石)—cos2( x—袒]+1=2si n[2(n n x—应—-]+1 = 2si n(2(n)当f(x)取最大值时，sin(2 亠n , n有 2 x —-3 =2 k n+25 n 5 n 即x=k n + 12 ( k € Z) 二所求x 的集合为{x € R| x= k n + (k€ Z)}.12 ，12 ，。