第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误!未找到引用源。
矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。
矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。
A ·B 和A ⨯B错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误!未找到引用源。
A a =A A=（x a +2y a -3z a ） 错误!未找到引用源。
cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误!未找到引用源。
A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。
求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)错误!未找到引用源。
验证散度定理。
解：错误!未找到引用源。
⎰•s d A=A d S •⎰曲+A d S •⎰xoz+A d S •⎰yoz+A d S •⎰上+A d S •⎰下A d S •⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4A d S •⎰xoz=(3)y z dxdz +⎰xoz=-6A d S •⎰yoz=-23x dydz ⎰yoz=0A d S •⎰上+A d S •⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰•s d A=193错误!未找到引用源。
dV A V⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)Vd d dz ρθρθ+⎰=193即：⎰•ss d A=dV A V⎰•∇1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：⎰•l l d A =2Lxdx xy dy +⎰=44a πA ∇⨯=z a 2y⎰•⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin Sd d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰•ll d A =⎰•⨯∇Ss d A，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误!未找到引用源。
u=xyz+2xu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy错误!未找到引用源。
u=42x y+2y z -4xzu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)错误!未找到引用源。
u ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a uz∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y1.16 求下列矢量场在给定点的散度错误!未找到引用源。
A •∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z ∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6错误!未找到引用源。
A•∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=21.17求下列矢量场的旋度。
错误!未找到引用源。
A ∇⨯=0错误!未找到引用源。
A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： 错误!未找到引用源。
P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ； 错误!未找到引用源。
从Q 点到P 点的距离矢量R ； 错误!未找到引用源。
r ∇⨯和r•∇； 错误!未找到引用源。
1()R∇。
解：错误!未找到引用源。
r =x a x+y a y+z a z;'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’错误!未找到引用源。
R =r -'r =x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）错误!未找到引用源。
r ∇⨯=0, r•∇=3错误!未找到引用源。
1R =1()R ∇=(xa x ∂∂+y a y ∂∂+z a z ∂∂)1R=-x a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x a 3'x x R--y a 3'y y R --z a 3'z z R -=-31R[x a （x -x ’）+y a （y -y ’）+z a （z -z ’）]=-3R R即：1()R∇=-3R R第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误!未找到引用源。
矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。
矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。
A ·B 和A ⨯B错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误!未找到引用源。
A a =A A=（x a +2y a -3z a ）错误!未找到引用源。
cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误!未找到引用源。
A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。
求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)错误!未找到引用源。
验证散度定理。
解：错误!未找到引用源。
⎰•s d A=A d S •⎰曲+A d S •⎰xoz+A d S •⎰yoz+A d S •⎰上+A d S •⎰下A d S •⎰曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲=156.4A d S •⎰xoz=(3)y z dxdz +⎰xoz=-6A d S •⎰yoz=-23x dydz ⎰yoz=0A d S •⎰上+A d S •⎰下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π ⎰•s d A=193错误!未找到引用源。
dV A V⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)Vd d dz ρθρθ+⎰=193即：⎰•ss d A=dV A V⎰•∇1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
解：⎰•l l d A =2Lxdx xy dy +⎰=44a πA ∇⨯=z a 2y⎰•⨯∇S s d A =2S y dS ⎰=22sin Sd d θρρρθ⎰=44a π 即：⎰•ll d A =⎰•⨯∇Ss d A，得证。
1.15求下列标量场的梯度： 错误!未找到引用源。
u=xyz+2xu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy错误!未找到引用源。
u=42x y+2y z -4xzu ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)错误!未找到引用源。
u ∇=xa u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a uz∂∂=x a 3x+y a 5z+z a 5y1.16 求下列矢量场在给定点的散度错误!未找到引用源。
A •∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6错误!未找到引用源。
A•∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=21.17求下列矢量场的旋度。
错误!未找到引用源。
A ∇⨯=错误!未找到引用源。
A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求： 错误!未找到引用源。