和 u ( k ) 的Z变换
1
式中，y ( z ) 及 u ( z ) 分别为时间序列
对于MIMO系统，A( z ) 和 B( z 1 ) 是多项式矩阵：
1
A( z ) I p A1z A2 z
B( z ) B0 B1z B2 z
式中 A 是
i
1
1
2
An z
an y(k n 1)
bnu(k d n) （25）
注意到上式中d仅表示纯滞后，属于离散化模型固有的特性d0=1已 从d中减去，并列入表达式中了，可以利用这个表达式作为预测的 基础，其中d>=1.
预测控制的显示表达如下：
y(k 1| k ) a j y(k 1 j ) b j u(k d j )
j 1 j i
. . .
i 1
n
b j u (k d i 1 j | k ) b j u (k d i 1 j )
j 0 j i
i 1
n
（28）
或者，一般地
y ( k i | k ) a j y ( k i j ) b j u ( k d i 1 j )
1
（21）
这就是传递函数矩阵Z变换的表达式，它对于SISO及MIMO（d=1）系统 两者都适用。
我们还可以导出传递函数模型和阶跃响应或脉冲传递函数之间的 转换关系，事实上传递函数被定义为脉冲响应的Z变换，所以有
P( z ) z k H (k )
k 0

（22） （23） （24）
H (0) z 1H (1)
j 1 j 0
n n
n
n
（26）
y(k 2 | k ) a1 y(k 1| k ) a j y(k 2 j ) b ju(k 1 d j ) （27）
j 2 j 0
y ( k i | k ) a j y ( k i j | k ) a j y ( k i j )
y(k 1) A1 y(k ) A2 y(k 1)
B0u(k ) B1u(k 1)
An y(k n)
Bnu(k n)
（15）
下面来导出传递函数模型和状态空间模型描述方式之间的转换，假设 标准的状态空间模型为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) y(k ) Cx(k ) Du(k )
D z 1CB z 2CAB
上式表明，在SISO情况下，可以由传递函数得到系统 的脉冲响应。
2.利用传递函数模型的预测
对SISO系统，将（4）式改写成如下形式：
y(k 1) a1 y(k ) a2 y(k 1)
b0u(k d ) b1u(k d 1)
1 1 在SISO系统的情况下，A( z ) 和 B( z ) 可分别表示为以下多项式：
（1）
A( z ) 1 a1z a2 z
B( z ) b0 b1z b2 z
因此，可以把（1）式写成差分方程：
1 1 2
1
1
2
an z
n
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k d ) b1u(k d 1) bnu(k d n)
（4）
还可以定义多项式:
A( z) z n A( z 1 ) z n a1z n1
B( z) z B( z ) b0 z b1z
n
n
（9）
1
1
2
Bn z
（10）
多项式
p p矩阵， Bi 是 p m A( z ) 和 B( z )可以定义成：
矩阵
A( z ) z n A( z 1 )
（11） （12）
B( z) z n B( z 1 )
于是多变量系统的传递函数描述为：
y ( z) P( z)u ( z) z d A( z 1 )1 B( z 1 )u ( z)
j 1 j 0
n
n
（29）
还可以表达成：
A( z 1 ) y(k i) z d B( z 1 )u(k i 1)
式中
（30）
u (l ), l k 1 u (l ) u (l | k ), l k 1
（31）
y(l ), l k y(l ) y(l | k ), l k
（16） （17）
做Z变换得
zx ( z) x(0) Ax ( z) Bu ( z ) y ( z) Cx ( z) Du ( z)
由此，在假定x（0）=0的情况下有：
（18） （19）
y ( z) [C( zI A)1 B D]u ( z)
所以有
（20）
P( z) C( zI A) B D
（13） （14）
z A( z ) B( z )u ( z)
d
1 1
1
虽然原理上几乎任何方法多可以在多变量的情况下实现，但这 些多项式矩阵和传递函数矩阵方法与SISO情况相比更不方便也更 少使用，所以本节仅讨论SISO的情况。 传递函数矩阵（13）式中当d=1时相应的多变量差分方程为：
n n
1
n1
an
（5）

bn
（6）
对输入—输出时间序列采用Z变换以后，得到脉冲传递函数表达式为：
y ( z ) P( z )u ( z ) z d
B( z 1 ) u ( z) 1 A( z )
（7）
（8）
z
d
B( z ) u ( z) 1 A( z )
y (k )
预测控制
——传递函数模型
专业：系统科学 小组成员：周建华、许超、刘春辉、刘波
报告时间：2012.12.7
主要内容
1. 传递函数模型表述; 2. 利用传递函数模型的预测;
3. 扰动模型;
4.广义预测控制模型(GPC);
5.多变量系统.
1.传递函数模型表述
以输入—输出差分方程来描述系统的行为如下：
A( z 1 ) y(k ) z d B( z 1 )u(k )