证明: 若| f '| R[a, b], 则f ' R[a, b].
提示: 证明在区间[xk1, xk]上, 振幅满足
k ( f ) 2k (| f |).
考察 f ' 在区间[xk1, xk]上变号、不变号两种情形, 变号时利用导函数的介值性.
三. 函数可积性的证明
例3 若函数 f 在[a, b]上定义, 且对x [a, b]有
b 2 b
提示: 将左边两积分变形, 再用Cauchy不等式

b a b a
f ( x)cos xdx f ( x)sin xdx
b a b a
f ( x) f ( x) cos xdx. f ( x) f ( x) sin xdx.
五. Cauchy-Schwarz不等式
Ex. 设 f
xn lim dx 0. n 0 1 x
1
五. Cauchy-Schwarz不等式
例5 (习题7.3(5)) 设非负函数 f R[a, b]. 证明

b a
f ( x) cos xdx

2
b a
f ( x)sin xdx

2
b a
f ( x)dx .

2
C(1)[a,
b], 且 f (a) = f (b) = 0,

b a
f 2 ( x)dx 1
证明: (1) 对任意的 0,
g ( x) f ( x) xf ( x)
在[a, b]上不恒为零. (2)
1 2 2 a [ f ( x)] dx a x f ( x)dx 4 .
(4) 若 f 和g均不可积, 则f ◦g也必不可积(假定可复合). 提示: 考察 f (x) = g(x)且均为Dirichlet函数.
二. 复合函数的可积性

(5) 若 f C[a, b], g R[a, b], 则f ◦g R[a, b]. 提示: 利用f 的一致连续性, g的可积性
Chap 7
函数可积性—习题课
一. 可积函数与有原函数的函数 例1 [习题7.2(4)/7.2(6)]判断下列命题的真伪(正确的
给出证明, 错误的举出反例说明)
(1) 若 f 在[a, b]上可积, 则 f 在[a, b]上必存在原函数.
提示:考察 f (x) = sgn x, x[1,1]
(2) 若 f 在[a, b]上存在原函数, 则 f 在[a, b]上必可积.
1 2 x sin 2 , x 0, 在[1, 1]的导函数 提示: 考察 F ( x) x 0, x 0,
二. 复合函数的可积性
(3) 若 f 和g均可积, 则f ◦g也必可积(假定可以复合).
1, 0 x 1, g(x)为Riemann函数 提示: 考察 f ( x) x 0, 0,
( f
k 1 k
n
g )xk k ( f g )xk
k
k{1,2,, n}\

k ( f g )xk
其中 {k | k ( g ) } , 由f 的一致连续性找到.
三. 函数可积性的证明
例2 (习题7.2(4)) 若 f D[a, b].
lim sin n xdx 0.
n π 2 0
提示: 将积分区间分成两段考虑

π 2 0
sin n xdx
π 2 0
sin n xdx
π 2 π 2
sin n xdx
注: 此题直接用积分中值定理不易说清楚！ 也不宜把积分算出来(还未学积分法). Ex.(习题7.3(7)) 证明
lim f (t ) 0.
tx
证明 f R[a, b], 且 提示: 先证 f R[a, b].

b a
f ( x)dx 0.
由条件知 0, x 0使得 t U ( x, x ) 有
| f (t ) |

2
.
三. 函数可积性的证明 利用有限覆盖定理, 可找有限个邻域覆盖[a, b],

2
故在[a, b]上除有限点外都成立
| f (t ) |
.
由此再找[a, b]的分划, 在不包含这有限个点的
子区间上振幅不超过, 而包含这有限个点的子区 间长度和小于任意的.
最后, 按定义证明

b a
f ( x)dx 0.
四. 积分第一中值定理
例4 (习题7.3(7)) 利用积分第一中值定理, 证明