历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）一、选择题：（每小题5分，计40分） 1.（2009重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+2.(2009山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 3.（2010全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．14 B ．34CD4．（2009北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形5．（2011春招上海）在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.6.（2005江苏）ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB7．（2007春招北京、安徽文、理）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确．．．的是（ ） A B C D ．αβ＜．αβ＜．αβ＞．αβ＜αβtg tg tg tg121122sin sin cos cos ()++++8．（2009全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+ B ．31+C ．232+D ．32+二.填空题: （每小题5分，计30分）9．（2010北京文）在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．10．（2011上海春招） 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos . 11.（2011北京理）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 12.（2010北京文、理) 在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =________． 13．（2009全国Ⅱ卷理）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．14、在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ． 15．（2005上海理）在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S=_______三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分） 16.（2009福建文、理)在△ABC 中，tan A =41,tan B =53. (I)求角C 的大小; (II)若AB 边的长为17，求BC 边的长17. (2011广东理)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值; （2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.18.（2011全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a =2b sin A(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.19.(2012湖北理)在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD=5，求sinA 的值.20．（2012四川文、理）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3(-1,m = ，sinA)(cosA,n =，且1n m =•（Ⅰ）求角A （Ⅱ）若221sin 23,cos sin B B B+=--求tanC 。
21．（本小题满分12分）（07西一文）已知α为第二象限的角，βα,53sin =为第三象限的角，34tan =β. （I ）求)tan(βα+的值. （II ）求)2cos(βα-的值.22．（本小题满分13分）（06西一文）已知.53sin ),,2(=∈αππ且a （I ）求)4cos(πα-的值；（II ）求)4tan(2sin 2παα++的值.23.（本小题共12分）已知函数f (x )=xx cos 2sin 1-(Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f (α)的值. 24.已知向量a xx b x x f x a→=→==→(s i n c o s )(c o sc o s )()232，，，，定义函数·b →-1。
求：（I ）函数f(x)的最小正周期；（II ）函数f(x)的单调减区间。
25．已知函数f (x )=22cos sin cos x a x x +，()06f π=，（I ） 求实数a ；（II ）求函数f (x )的最小正周期及单调增区间；（III ）若函数f (x )的图象按向量(,1)6m π=-平移后，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式。
26、已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=。
（1）求)(x f 的最小正周期；（2）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的值域。
27、已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=。
（1）求)(x f 的最小正周期；（2）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的值域。
28.已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈. (I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=，求sin2α的值.29.已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数求ωϕ和的值20.（2011全国文、理，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南(cos 10θθ=方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）二.9. 2 10.257 11. 60O12. 210 13. 3 14.4315三.解答题:15. 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及 推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B+∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC ABC== 所以，最小边BC =16.解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--东当c=5时，(2,4)AC =- cos cos ,A AC AB ∠=<=进而sin A ∠==(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)17.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知， 22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且DE=,,36221x BE AB ==设 在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2=BE 2+ED 2－2BE ·EDcosBED ，,6636223852x x ⨯⨯++=,328cos 2,2),(37,1222=⋅-+==-==B BC AB BC AB AC BC x x 从而故舍去解得.1470sin ,6303212sin 2,630sin ,3212====A AB AC 故又即 解法2：以B 为坐标原点，x BC 为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限.).(314,2.5)352()634(||).352,634(),0,(),354,34()sin 364,cos 364(,630sin 22舍去从而由条件得则设则由-===++=+=====x x x BD x BD x BC B B BA B ),354,32(-=CA 故.1470cos 1sin ,141439809498091698098||||cos 2=-=∴=+++-==A A CA BA A 于是解法3：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC ， 过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcosB=,354,34=AH .1470sin ,6303212sin 2.3212,32,2,34,310)354()52(22222222=∴==+===-=∴===-=-=-=A A HC AH AC HC CN BN BC HB CN AH BP PN BP BN 故由正弦定理得而19. 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--==20. 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.。