k 0
不收敛于
b
a f (x)dx
此定理说明Newton-Cotes公式并不总是收敛
于积分的真值.
16
Newton-Cotes公式的数值稳定性
设精确值为f(xj)的计算值为 f (xi，) 且
那么
f (xi ) f (xi ) , i 0,1, 2, , n.
n
n
n
n
Hi f (xi ) Hi f (xi ) Hi f (xi ) f (xi ) Hi
xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点.
b
n
E( f ) f (x)dx a
Ai f (xi )
i0
称为求积公式的余项.
(4.1.1)
(4.1.2)
4
数值积分问题可分解为如下三个问题: (1)精确性程度的衡量标准问题； (2)求积公式具体构造问题； (3)余项估计问题.
5
求积公式的代数精度
第四章
数值积分
1
数值积分是数值计算的重要部分，它是 求定积分的一种近似方法,具有实际意义.
2
§4.1数值积分的一般概念
3
数值求积公式
讨论如下形式的数值求积公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Hi f (xi )
i0
称为机械求积公式.
其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数，
定义 若求积公式(4.1.1)对所有次数不超过m 的多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项 式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代 数精度（或称该公式是m阶的）.
上述定义等价于：若求积公式(4.1.1)对 f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精 确成立,则称此求积公式具有m次代数精度（或 称该公式是m阶的）.
(1)ni n i!(n i)!
nn
(t
0 j0
j)dt,
(i 0,1,2,
ji
称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数.
则
Hi=(b-a)Ci (n)
,n) (4.2.1) (4.2.1)
12
Newton-Cotes公式
b a
f (x)dx (b a)
n
C(n) i
f
14
当n=4时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为Cotes公式 公式
b a
f
(x)dx
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
f
(x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
(4.2.6)
H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90, H2=12(b-a)/90, C0=C4=7/90, C1=C3=32/90, C2=12/90. 其它情形可通过查Cotes系数表，给出具体公
n
Ln (x) f (xi )li (x)
b
ni0 b
f (x)dx
a
( a li i a li (x)dx, (i 0,1, 2, , n)
11
Newton-Cotes系数
作变量替换x=a+th，于是
Hi
b
a li (x)dx
i0
求积系数
b
Hi a li (x)dx, (i 0,1, 2, , n)
7
对于求积公式 b
n
f (x)dx
a
Hi f (xi )
i0
如果求积系数
Hi
b
a li (x)dx
bn
x xj
dx
a
x j 0
ji i
xj
则称(4.1.1)为插值型求积公式.
(4.1.3)
其余项
E( f )
几何意义:用梯形面积近似代替曲边梯形面积.
当n=２时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为抛物线
(Simpson)求积公式
b a
f
(x)dx
b 6
a
f
(a)
4
f
a
b 2
f
(b)
S
(4.2.5)
H0=H2=(b-a)/6, H1=2(b-a)/3, C0=C2 =1/6, C1 =2/3
( xi
)
i0
(4.2.3)
称等距节点的插值型求积公式(4.2.3)为n阶 牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式.
13
当n=1时, Newton-Cotes公式(4.2.3)为梯形求积
公式 b
ba
a f (x)dx 2 [ f (a) f (b)] T
(4.2.4)
H0= H1 =(b-a)/2, C0= C1 =1/2
代数精度的概念是衡量求积公式精确性的标准.
6
插值型求积公式
以给定互异点x0, x1, …, xn 为插值节点,作f(x)的 n次插值多项式φn(x) ,把φn(x) 写成Lagrange插 值多项式的形式
n
Ln (x) li (x) f (xi )
i0
b
n
b
f (x)dx
a
( a li (x)dx) f (xi )
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
x j )dx
若公式(4.1.1)是插值型求积公式，则它至少具
有n次代数精度.
8
反之，若求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度
，因lk(x)Mn, k=0,1,2,,n.求积公式(4.1.1)对
lk(x)精确成立，即
b
n
a lk (x)dx Hilk (xi ) Hk , k 0,1, 2, , n
i0
综上有
定理 求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度的充 分必要条件是它是插值型的.
9
§4.2 Newton-Cotes公式
10
Newton-Cotes公式
将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih ， i=0,1,2,,n ， h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点
为插值节点,作n次插值多项式
b (x x0 )(x x1) a (xi x0 )(xi x1)
(x xi1)(x xi1) (x xn ) dx (xi xi1)(xi xi1) (xi xn )
(1)ni h
n
t(t 1)
(t i 1)(t i 1)
(t n)dt
i!(n i)! 0
记
C(n) i
式.
15
Newton-Cotes公式的收敛性
定理 对于n+1个节点的Newton-Cotes公式的
n
求积系数Hk, 当n时, 数列 Hk 无限放大. k 0
定理 如果当n时, 与插值型求积公式(4.1.1)
相应的数列
n
Hk
无限放大， 则有函数
k 0
f(x)C[a,b]，使得数列
n
Hk f (xk ) (n 1, 2,3, )
i0
i0
i0