， ， 。
解 中 ，故不能分解。但由于 ，所以若交换 的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。
在 中， ，故不能分解。但 可以分解为
，
其中 ， 为任意常数，且 奇异，故分解不唯一。
对于 ， ，故 可以分解且分解唯一。
。
5.13.求证：(1). ；(2). 。
证明(1).由定义知
故 。
(2).由范数定义，有
证明只需证明 满足向量范数的三个条件。
(1).因 正定对称，故当 ， ；而当 时，
。
(2).对任意 ，有
。
(3).因 正定，故有分解 ，因而
对任意 ，由 的三角不等式有
，故 是 上的向量范数。
又
所以 。
5.14.设 且非奇异，又 设为 上一向量范数，定义
试证明 是 上向量的一种范数。
证明只需证明 满足向量范数的三个条件。
(1).因 非奇异，故对任意 ，有 ，故 ，当且仅当 时，有 。
(2).对任意 ，有
。
(3).对任意 ，有
，故 是 上的向量范数。
5.15.设 为对称正定矩阵，定义 ，试证明 是 上向量的一种范数。
并求出系数矩阵 的行列式(即 )的值。
解
所以解为 ， ， ， 。
5.9.用追赶法解三对角方程组 ，其中
， 。
解设 有分解
，
由公式
其中 ， 分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。
具体计算，可得
， ， ， ， ，
， ， ， 。由，得 ， ， Nhomakorabea ， ；再由
，
得 ， ， ， ， 。
5.11.下述矩阵能否分解为 (其中 为单位下三角矩阵， 为上三角矩阵)若能分解，那么分解是否唯一
数值分析作业答案(第5章) part2
5.6.证明：
(1).如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵
(2).如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的下三角矩阵。
证明：
(1).因 是对称正定矩阵，故其特征值 皆大于 ，因此 的特征值 也皆大于 。因此 也皆大于 ，故 是可逆的。又
则 也是对称正定矩阵。
(2).由 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解 。又
其中 为对角矩阵， 为上三角矩阵，于是
由 的对称性，得
由分解的唯一性得
从而
由 的对称正定性，如果设 表示 的各阶顺序主子式，则有
， ，
故
因此
，
其中 为对角元素为正的下三角矩阵。
5.7.用列主元消去法解线性方程组