- =( -a)-( -a)= -
- =( -a)-( -a)= …………
- =( -a)-( -a)= 再把以上每一个新生成等式左右两边平方把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以 n,即有：
[
+
+…+
]= [
+
]
这 就 是 根 据 方 差 的 基 本 公 式 ， 求 得 的 , ,…,
根据○1 ，有 = +a, = +a,… = +a,和 = +a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有：
=[
+
+…
-
= [( + +…+ )+2a( + +…+ )+n ]-( +2 a+ )
= ( + +…+ )+2a = ( + +…+ )+ 2 a+
+ - 2 a-
= ( + +…+ )
+
= -a+ -a+…+ -a
+
= + +…+ -na
=
—a
○2
亦即 = +a （2） 方差的基本公式
方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据
中，
各数据与他们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“ ” 表示，即:
=[
+
]
(3) 方差的简化计算公式
= [ + +…+ )-n ]
就等于原数据
, ,…,
…………………….(II)
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行 等量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算
出的方差 都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据 , ,…, 计算方差；
也可写成 = [ + +…+ )]此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明：
=[
+
]
=[
++
+ +…+
+]
= [ + +…+ )-2 + +…+ +n ]
= [ + +…+ )-2n = [ + +…+ )-2n = [ + +…+ )-n ]
= + +…+ )- ………………..(I)
简化公式（II）按新数据 , ,…, 计算方差，计算出的方差相同。
(4) 用新数据法计算方差 原数据 , ,…, 的方差与新数据 = -a, = -a,…, = -a 的方差相等。
也就是说，根据方差的基本公式，求得的 , ,…,
就等于原数据
, ,…, 证明： 把○1 式里的每一个式子的两边，减去○2 式的两边（左边-左边，右边-右边）有：
方差计算公式的证明
（1） 用新数据法求平均数
当所给的数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式： = +a.其中，常
数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， = -a, = -a,…, = -a ○1
=( +
) 是新数 据的平 均数（ 通常把 , ,…, ,
，
, ,…, , 叫做新数据）。 把○1 左边的数据相加，把○1 右边的数据相加，得到一个等式：