专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲2019年1.（2019全国II 文23）已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）； （2）．3.(2019全国III 文23）设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；()|||2|().f x x a x x x a =-+--1a =()0f x <(,1)x ∈-∞()0f x <a 222111a b c a b c++≤++333()()()24a b b c c a +++≥++,,x y z ∈R 1x y z ++=222(1)(1)(1)x y z -++++2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥3a ≤-1a ≥-(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd >>||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11a b+=． (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数=,=.（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集； （Ⅱ）设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围. 17．（2013新课标2）设均为正数，且，证明：（Ⅰ） （Ⅱ） 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[，求a 的取值范围． 19．（2011新课标）设函数,其中． （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a 的值．专题十五 不等式选讲()f x |21||2|x x a -++()g x 3x +a ()f x ()g x a x 2a -12()f x ()g x a ,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥()3f x x a x =-+0a >1a =()32f x x ≥+()0f x ≤{}|1x x ≤-第三十五讲 不等式选讲答案部分 2019年1.解：（1）当a =1时，. 当时，；当时，. 所以，不等式的解集为. （2）因为，所以.当，时，. 所以，的取值范围是.2.解析 （1）因为，又，故有.所以. （2）因为为正数且，故有=24.所以. 3.解析（1）由于，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---1x <2()2(1)0f x x =--<1x ≥()0f x ≥()0f x <(,1)-∞()=0f a 1a ≥1a ≥(,1)x ∈-∞()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----a [1,)+∞2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥1abc =222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++222111a b c a b c++≤++, , a b c 1abc =333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c 3≥⨯⨯⨯333()()()24a b b c c a +++++≥2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦故由已知得， 当且仅当x =，y =–，时等号成立． 所以的最小值为. （2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立． 因此的最小值为．由题设知，解得或．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥531313z =-222(1)(1)(1)x y z -++++432[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ (2)222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…43a x -=13a y -=223a z -=222(2)(1)()x y z a -+-+-2(2)3a +2(2)133a +…3a -…1a -…2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ． 由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ． 3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．4．D ．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)，．当，，解得或，． 当，，解得或， 或，当，，解得或，或，综上，或或， ，解集为．10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >1x -≤41x ->5x >3x <1x -∴≤312x -<<321x ->1x >13x <113x -<<∴312x <<32x ≥41x ->5x >3x <332x <∴≤5x >13x <13x <<5x >()1f x >∴()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+…，得13x-剟. 因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ①当1a …时，①等价于13a a -+…，无解.当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a ….所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅰ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33a b +≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为（II ）由（I ）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a =++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-.当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜52．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a -+，由(3)f ＜5得12+＜a ≤3．综上，a ，52+）． 16．【解析】(Ⅰ)当=-2时，不等式＜化为， a ()f x ()g x |21||22|30x x x -+---<设函数=，=， 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对∈[，)都成立，故≥，即≤， ∴的取值范围为(-1，]． 17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=． 所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ y |21||22|3x x x -+---y 15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(0,2)x ∈y{|02}x x <<x 2a -12()f x 1a +()f x ()g x x 2a -122a -2a -a 43a 43即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔…或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a ⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当时，可化为．由此可得 或．故不等式的解集为或． ( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组 或， 即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤， 因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故．1a =()32f x x ≥+|1|2x -≥3x ≥1x ≤-()32f x x ≥+{|3x x ≥1}x ≤-()0f x ≤30x a x -+≤30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩0a >{}|2ax x ≤-2a -1-2a =。