自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名：张萌指导教师：谢昭莉班级：自动化3班重庆大学自动化学院二O一六年十二月课程设计指导教师评定成绩表指导教师评定成绩：指导教师签名：年月日重庆大学本科学生课程设计任务书摘要.......................................................................... 错误!未定义书签。

倒立摆系统的概述 (2)2 数学模型的建立 (4)2.1小车倒立摆物理模型的建立 (4)2.2小车倒立摆实际数学模型的建立 (7)3 开环响应分析 (8)4 根轨迹法设计 (10)4.1 未校正系统根轨迹分析 (10)4.2根轨迹矫正及仿真 (11)4.2.1根轨迹矫正 (11)4.2.2Matlab计算和仿真 (12)5 频域法设计 (14)5.1未校正的bode图与奈奎斯特分析 (14)5.2 频域法矫正 (15)5.2.1 控制目标要求 (16)5.2.2 矫正步骤 (16)5.3 用Matlab进行阶跃响应仿真 (18)6 PID控制器设计 (19)6.1 控制器设计过程 (20)7 课程设计总结 (23)8参考资料 (24)摘要通过对一级倒立摆系统进行数学建模，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：()()()22s mlV s I ml s mglΦ=+- 首先从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，得出该系统的开环响应是发散的这一结论。

利用根轨迹分析法，并借助Matlab 一级其中的Simulink 仿真系统辅助分析。

通过加入超前校正校正环节，得到系统的校正函数，并且校正后的系统满足课设的要求，即最大超调量：%10%p σ≤，调整时间：0.5(2%s t s =误差带）。

同样，利用频域分析法也得到校正环节的传递函数。

对系统进行校正系统的静态位置误差函数常数为10，相位裕量为50o，增益裕量等于或大于10dB 。

最后利用PID 控制器设计出校正函数，并且也满足最大超调量：%15≤p ϕ，调节时间：误差带）%2(2s t s =。

通过以上的设计，得到一级倒立摆的控制器，对倒立摆进行有目的的控制，从而达到预期的效果。

关键字：倒立摆 根轨迹分析法 频域分析法 PID倒立摆系统的概述倒立摆的种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。

一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。

系统的组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三大部分组成。

工程背景：(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。

(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。

(3) 通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。

(4)为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。

(5) 多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。

2 数学模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。

2.1小车倒立摆物理模型的建立M 小车质量1.096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0.1N/m/secl 摆杆转动轴心到质心长度0.25mI 摆杆惯量0.0034 kg·m2F 加在小车上的力图直线一级倒立摆模型 x 小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角Θ摆杆与垂直向下方向的夹角图小车及摆杆受力分析N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图 小车及摆杆受力分析小车水平方向的合力：Mx F bx N =--&&& （1）摆杆水平方向的受力进行分析：()22sin d x l N m dt θ+=即可化为：2cos sin N mxml ml θθθθ=+-&&&&& （2） 由方程（1）和（2）可以得到系统的第一个运动方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&& （3）摆杆力矩平衡方程：sin cos Pl Nl I θθθ--=&&（4）摆杆垂直方向的合力：()22cos d l P mg mdt θ-=可化为：222sin ()cos d d P mg ml ml dt dt θθθθ-=-- （5）由方程（4）和（5）可以得到系统的第二个运动方程：()2sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-&&&& （6）系统的第一个运动方程：()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&&系统的第二个运动方程：()2sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-&&&&用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后，两个运动方程如下（其中φπθ+=）()()2I ml mgl mlxM m x bx ml u φφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩&&&&&&&&&对上式进行拉普拉斯变换（令a x =&&），得到摆杆角度和小车位移的传递函数：()()()222s mls X s I ml s mglΦ=+- （7）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：()()()22s mlV s I ml s mglΦ=+- （8）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432()()()()mls s qb I ml M m mgl bmgl U s s s s sq q q Φ=+++-- （9）其中222[()()]q M m I ml m l =++-。

2.2小车倒立摆实际数学模型的建立1 倒立摆系统参数符号 意义 数值 单位 M 小车质量 1.096 kg m 摆杆质量 0.109 kg b 摩擦系数 0.1 N/m/sec l 转轴到摆杆质心的长度0.25 m I 摆杆转动惯量 0.0034 kg*m*m x 小车位置坐标 m θ 摆杆与垂直向下方向的夹角 rad φ 摆杆与垂直向上方向的夹角rad F施加在小车上的力N把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.02725()0.01021250.26705s s X s s Φ=- （10）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=- （11）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32() 2.35655()0.088316727.9169 2.30942s sU s s s s Φ=+-- （12）3 开环响应分析由物理公式可得到小车位移和小车加速度的传递函数：2()1()X s V s s =当输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应： 已知摆杆角度和小车加速度的传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-在matlab 中建立m 文件zm1.m 内容如下： m=[0.02725]; n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20; step(m,n,t) axis([0 4 0 100]) 阶跃响应曲线：系统阶跃响应曲线上升的斜率几乎趋近于无穷，且持续上升不能达到稳定状态，因此系统是不稳定的。

当输入为小车加速度时摆杆角度的单位脉冲响应已知传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=- 在matlab 中建立m 文件命名为zm2.m内容如下： m=[0.02725];n=[0.0102125 0 -0.26705]; t=0:0.1:20;impulse(m,n,t)axis([0 4 0 100])脉冲响应曲线：与单位阶跃响应同理，系统的单位脉冲响应也不能达到稳定，其曲线和单位阶跃响应曲线有相似的趋势。

综上，无论是单位阶跃响应还是单位脉冲响应，系统都是不稳定的。

然后利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真，仿真系统的结构如下图。

摆杆角度的阶跃响应和脉冲响应分别如下两图所示。

摆杆角度的阶跃响应摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应、脉冲响应分别如下两图所示。

小车位置的阶跃响应小车位置的脉冲响应根据上面已经得到系统的状态方程，利用MATLAB绘制出阶跃响应曲线如下图：系统状态方程的阶跃响应由上图可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。

4 根轨迹法设计4.1 未校正系统根轨迹分析已知其传递函数为：2()0.02725()0.01021250.26705s V s s Φ=-，由Matlab 可以得出其对应的根轨迹如下图：闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点处，系统有两个极点 5.1136p =±，有一极点为正，根轨迹从两极点开始，经实轴在原点会合，并分离到正负虚轴上，并且沿着虚轴延伸到无穷远处，因此无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即直线一级倒立摆系统系统总是不稳定的。

4.2根轨迹矫正及仿真4.2.1根轨迹矫正 传递函数)11.5)(11.5(6683.226705.00102125.002725.0)()(-+=-*=s s s s s A s φ已知要求校正后系统性能指标满足：调整时间：0.5(2%)s t s =；最大超调量：%10%p σ≤。

由公式2(1)10%p e ζζπσ--=≤得到591.0≥ξ，不妨取0.6ζ=由cos ζθ=，所以 938.0=θ(弧度)=53.77（度）=β，其中θ为位于第二象限的极点和O 点的连线与实轴负方向的夹角。

由调节时间：0.5(2%)s t s =所以得到：15≥n ω，不妨取15=n ω所以可以由上面的得到期望的闭环主导极点：(cos sin )n s j ωθθ=-+=—9±j12未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：1()(1)1c cs z Ts K s Ts s p ααα++==≤++计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：)1211.14)(1289.4(6683.2)1(j j S G +-+-∠=∠=—108.2°超前校正网络应该提供的超前相角：︒=︒︒=722.108-180c ϕ 对于最大的σ值的γ角度可由下式计算得到：︒==5.27)--21c ϕβγ（π 超前校正的零点：7)sin(sin =+=c n C Z ϕγγω超前校正的极点：︒=+=3.32sin )sin(γϕγωc n c p由幅值条件()()1d d G s H s =，可得66.188=c k 所以超前校正函数为：3.32)7(66.188)(++=s s s k4.2.2Matlab 计算和仿真编写m 文件命名为zm.m 进行阶跃响应分析 num=0.02725*188.66*[1,7]den=[0.0102125 32.3*0.01021215 -0.26705 -0.26705*32.3]; sys=tf(num,den);sys2=feedback(sys,1); t=0:0.01:20; step(sys2,t) axis([0 1 0 2]) 得到输出曲线如下：通过Matlab编程作图，得到校正后系统的跟轨迹编写m文件命名为root.m进行阶跃响应分析num=0.02725*188.66*[1,4.635];den=[0.0102125 32.3*0.01021215 -0.26705 -0.26705*32.3]; rlocus(num,den);从图中可看出，系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分，所以系统稳定。