高二《数列》专题1．与的关系： ，已知求，应分时 ；时，n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =2≥n = 两步，最后考虑是否满足后面的.n a 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d --=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，d n a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->，中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中,,a A b A a b 项．。

2a bA +=等差中项的设法：如果成等比数列，那么叫做与,,a G b G a 的等比中项．b 等比中项的设法：，，aqa aq 前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=若*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+，则2m p q =+若，则q p n m +=+2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An Bd d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明为一个常数；)(*1N n a a n n ∈-+（2）等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n （3）通项公式:为常数)()(,n a kn b k b =+*N ∈n （1）定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥（3）通项公式：均是不为0(,nna cq c q =3.数列通项公式求法。

（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法（3）累乘法（型）；(4)利用公式；(5)构造法（型）(6) n n n c a a =+111(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+1倒数法 等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. 的最值问题：在等差数列中,有关 的最值问题——常用邻项变号法求解：n S {}n a n S (1)当 时，满足 的项数m 使得取最大值.0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+01m m a a m S (2)当 时，满足 的项数m 使得取最小值。

0,01><d a ⎩⎨⎧≥≤+01m m a a m S 也可以直接表示，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想n S 的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列的前三项依次为、、，则2011是这个数列的 ( B ){}n a 1a -1a +23a +A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列中，，则等于（A ）}{n a 485756=-=+a a a a 10S A ．1023 B ．1024C ．511D ．5123．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－C.D ．21212由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－.故选B.124.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905.（2010青岛市）已知为等差数列,若,则的值为（ A ）{}n a π=++951a a a 28cos()a a +（4）为常数)()2n s An Bn =+(,A B ∈*n N 常数）（4）为常数，n ns Aq =A -(,A q ≠≠A 0,q 0,1）A ．B ．C ．D ．21-23-21236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则的值为( )a 29a 11A ．9B ．1C ．2D ．3解析　由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a ＝243，所以得a 7＝3，又＝＝a 7，故选57a 29a 11a 7a 11a 11D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )12A ．260 B ．220C ．130D ．110解析　∵S 5＝×5，又a 1＋a 52∵S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝×11＝×11＝×11＝110，12a 1＋a 112a 3＋a 920＋202故选D.8各项均不为零的等差数列{a n }中，若a －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于2n A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018解析　各项均不为零的等差数列{a n }，由于a －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则2n a －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.2n 9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20解析　由于a 2a 4＝a ，a 4a 6＝a ，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a ＋2a 3a 5＋a ＝(a 3＋a 5)232523252＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.10. 首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案　B解析　a ＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d )24⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2.∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以为第三项，9为第六31项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、（2009澄海）记等差数列的前项和为，若，且公差不为0，则当取最大值时，{}n a n s 103s s =n s =n （　)CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案　C 解析　方法一　设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得，Error!即Error!解得Error!所以，S 2 012＝2 012a 1＋d2 012×(2 012－1)2＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2＝2 012×(4 022－4 021)＝2012.方法二　由S 2 011＝＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则2 011(a 1＋a 2 011)2S 2 012＝＝＝＝2 012.2 012(a 1＋a 2 012)22 012(a 1 006＋a 1 007)22 012×(－1＋3)214．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝(　B )2f (n )＋n 2A ．95B ．97C ．105D ．192　解析　f (n ＋1)＝f (n )＋，∴Error!n2累加，得f (20)＝f (1)＋(＋＋…＋)＝f (1)＋＝97.122219219×20415.已知数列的前项和满足，则通项公式为（B）{}n a n n S 1)1log 2+=+n S n （A. B.)(2*N n a nn ∈=⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n n C.D. 以上都不正确)(2*1N n a n n ∈=+16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 二、填空题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8.2.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=，S 4=20，则S 6= . 48213..（2010广州一模）．在等比数列中，，公比，若，则的值为 ．7{}n a 11a =2q =64n a =n 4.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则= . 24a S 2155.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若＝，则＝________.SnTn 2n3n ＋1a 100b 100答案　解析　＝＝＝199299a 100b 100a 1＋a 1992b 1＋b 1992S 199T 1991992996、数列的前项和记为则的通项公式{}n a n ()11,1,211n n n S a a S n +==+≥{}n a 解：（Ⅰ）由可得，两式相减得121n n a S +=+()1212n n a S n -=+≥()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又 ∴ 故是首项为，公比为得等比数列 ∴21213a S =+=213a a ={}n a 1313n n a -=7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>的最大正整数n 的值为________．答案　419解析　设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a ＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此23a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝，a 1＝8，a n ＝8×()1212n －1＝24－n ，an ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝>，因此要使29－3n >，只要9－3n ≥－3，即181919n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>的最大正整数n 的值为4.198．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若＝，则公比q 等于________．S 10S 53132答案　－ 解析　因为＝，所以＝＝－，即q 5＝(－)5，所以q ＝－.12S 10S 53132S 10－S 5S 531－32321321212三、解答题1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．n a n S 211n a -∈{}n b n T 1【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有{}n a 37a =5726a a +=，解得，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==所以；==。