第 9 章 组 合 变 形9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形）解：（a ）拉伸与弯曲；（b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。

9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。

解：显然固定端是危险截面。

kNm 6.128.01=⨯==l F M ykNm 65.1165.122=⨯==lF M z =+=+=22max 66bh M hb M W M W M zy z z y yσ][)233(13σ≤+=z y M M b 代入数据得到363mm 727500101065.15.16.13=⨯⨯+⨯≥b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。

9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。

（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。

） 解：显然中间截面是危险截面。

kNm 741max ==l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z（b ）车刀 （a ）机械构件][max σσ≤+=zzyy W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.21101606394.26578.6][66=⨯⨯⨯+=+≥σyz y M M W查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2.21394.2141578.6(3max σσ≤=⨯+=+=z z yy W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。

9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。

证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面形心主惯性轴，中性轴方程由0=-=y I M z I M z z yy σ 确定为 ϕtan ==yz zy I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为2)(dx EI M dx d Y z z z =⋅=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=⋅=θ，tan =-=zy yz I M I M Z Y 显然tan α tan ϕ = -1 ，α = ϕ±90°即截面形心位移与中性轴互相垂直。

[反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。

故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。

9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。

证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。

现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有β2cos 221yz y z y y I I I I I I -++== 即z y y z yz I I I I I I =⇒=-⇒=--00)2cos 1(2β设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2=+-=ααyz yz YZ I I I I即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。

z9-6 求图示正六边形截面悬臂梁的最大应力。

（已知正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ）解：显然 固定端是危险截面，l F M =m a x由于正六边形的形心主惯性矩 I y = I z ，只发生平面弯曲，中性轴与载荷作用线垂直，外凸角点中距离中性轴最远的点是A 点，如图（a ）所示，A 点到中性轴的距离15cos a h = ， 15cos max a I lF z =σ9-7 图示起重架的最大起吊重量（包括小车）为 F = 40 kN ，横梁 AB 由两根 18 号槽钢组成，[ σ ] =120 MPa ，试校核横梁强度。

解：以小车行至横梁中央作为危险工况，此时最大弯矩在梁的中间截面 C ， 最大弯矩 kNm 354==l F M C ，轴向压力 kN 64.3423==F F x AB 梁发生压缩与弯曲组合变形 AFW M x z C +=max σ查表得 18 号槽钢 3cm 2.152=z W ，2cm 29.29=A 代入上式MPa 9.1209.51151029.29264.34102.1522353max =+=⨯⨯+⨯⨯=σ略大于许用应力，一般情况下可以安全使用。

9-8 拆卸工具的勾爪受力如图，已知两侧爪臂截面为矩形，[ σ ] =180 MPa ，试按爪臂强度条件确定拆卸时的最大顶力 F 。

解：勾爪立柱发生拉伸与弯曲组合变形2F N = ， 2Fe M =M Pa 180][)261732626171(2)61(222max =≤⨯⨯+⨯==+=+=σσF bhe h b F W M A N z解得 F = 19 kN 。

9-9 压力机框架为铸铁材料，[ σ+ ] = 30MPa ，[ σ－] = 80 MPa ，立柱截面尺寸如图所示，试校核框架立柱的强度。

解：截面形心（a ）A －A 剖面mm 5.40420017200050202060100209020505020601010020==⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=c z4232323cm 4885.49205020501215.9602060201215.302010020100121=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=yc I截面内力 kN 12==F N ， kNm 89.2)0405.02.0(12)(=+⨯=+=c z a F MMPa 9.2686.22410420012105.4048889.232max =+=⨯+⨯⨯=+σ MPa 3.3286.22.3510420012105.5948889.232max -=+-=⨯+⨯⨯-=-σ 9-10 图示矩形截面杆偏心受拉，由实验测得两侧的纵向应变 ε1 和ε2 ，试求偏心距 e 。

解：试件发生偏心拉伸 F N = ， Fe M =两测点应变分别为E bh Fe bhEF 2216±=εε ， b h E F 221=+εε ， Ebh Fe 22112=-εε 联立求解可得 62121he εεεε+-=9-11 求图示矩形截面立柱固定端 A ，B ，C ，D 四点的正应力，并确定中性轴的位置。

解：立柱发生压缩与弯曲组合变形，危险截面在固定端kN 25-=N ， kNm 36.05=⨯=y M ，kNm 25.105.025=⨯=z M362mm 105.13.01.061⨯=⨯⨯=y W 362mm 105.01.03.061⨯=⨯⨯=z W483mm 1025.23.01.0121⨯=⨯⨯=y I 483mm 1025.01.03.0121⨯=⨯⨯=z I ，A = 0.1×0.3 = 3×104 mm 2 M Pa 67.3=++=A N W M W M y y z z Aσ ， M Pa 33.0-=+-=AN W M W M y y z z B σ M P a 33.5-=+--=A N W M W M y y z z C σ ， M Pa 33.1-=++-=AN W M W My y z z D σ 中性轴方程为2ε1030010010251025.21031025.01025.138686=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+-=z y A N z I M y I M y y z z σ 整理化简可得 250415=-z y9-12 确定图9-12所示矩形截面和圆形截面的截面核心大小。

解：由式（9-9），对矩形⇒±=-=22he i a y z y 6122223hbh bh hA I e z y === 同理可得 6b e z= 对圆形 ⇒±=-=R e i a 2 4RAa I e ==9-13 电动机工作时的最大转矩 T = 120 N ·m ，主轴 l = 120 mm ，d = 40 mm ，皮带轮直径 D = 250 mm ，皮带张力 F 1 = 2 F 2 ，[ σ ] = 60 MPa ，用第三强度理论校核该主轴强度。

解：由力偶矩平衡 T DF D F F ==-22)(221 N 96025.0120222=⨯==D T F ，N 28803221==+=F F F F 显然轴的根部是危险截面 Nm 6.34512.02880=⨯==l F M ，Nm 120==T M nMPa 5810401206.345323322223=⨯+=+=πσznr W M M 强度足够。

9-14 图示皮带轮传动轴尺寸及受力已知，[ σ ] = 80 MPa ，按第四强度理论选择轴的直径 d 。

解：（1）作轴的受力简图如图（a ）所示；F = 14 kN , T = 1.5 kNm（b ）M(a)（2）作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）、（c ）、（d ）所示；由图中可以看出 B 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 2.8 kNm , Mz = 1.4 kNm （3）危险点的相当应力 ][75.02224σσ=++=znz y r W M M M62223108014.35.175.04.18.232⨯⨯⨯++=d 解得 d = 75.6 mm 。

9-15 钢制圆轴在齿轮 B ，C 上受力如图所示， 已知 [ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论确定该齿轮轴的直径。

解：（1） 作轴的受力简图如图（a ）所示； F 1= 5 kN , F 2= 10 kN ， T = 0.75 kNm（2） 作轴的扭矩图、弯矩图如图（b ）（c ）（d ）所示；由图中可以看出 C 截面是危险截面，该截面的弯矩为My = 1.125 kNm , Mz = 0.188 kNm（3） 危险点的相当应力 ][75.02224σσ≤++=znzyr W M M M622231010014.375.075.0188.0125.132⨯⨯⨯++=d 解得1.51=d 9-16牙轮钻杆外径 D = 152 mm 内径d = 120 mm ，钻进压力F = 180 kN ，扭矩T = 17.3 kN ·m，[ σ ] = 100 MPa ，按第四强度理论校核钻杆强度。