用判别式法求函数值域的方法
欧阳光明（2021.03.07）
例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域
解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21
>0
∴函数的定义域为R ，
将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,
我认为在此后应加上：关于x 的方程（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0有实数解
例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域
解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3
∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}
由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上：关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3
例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。

思考之二：对于形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方
法
中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：
由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。

但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？
我认为有关形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的
值域
解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3
∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}
由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0
我认为在此之后应加上：关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3
（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1
（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52
由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52
}
上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，
例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域
解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0 由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1
（1）当y=1时，x=-4，∴y 可以取1
（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程，
显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解
因此只需△≥0即可，以下过程略
思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数同样适用，
如：求函数y=x 2-3x+5的值域
解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-
3）2-4（5-y ）≥0
∴y ≥411
∴所求函数的值域为{y| y ≥411
}
练习：求函数
322122+-+-=x x x x y 的值域。

错解 原式变形为
0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*）
∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2
≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。

故所求函数的值域是
]21,103[ 分析 把21=y 代入方程（*）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。

事实上，21
=y 时，方程（*）的二次项系数为0，显然用
“∆”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为
0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （*） （1）当
21=y 时，方程（*）无解； （2）当21≠
y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得2110
3<≤y 。

由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[
例5 求函数1++=x x y 的值域。

错解 移项平方得：
()011222=+++-y x y x ， 由()014)]12([22≥+---=∆y y 解得43≥y ，则原函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣
⎡+∞,43. 分析 由于1-=-x x y 平方得()011222=+++-y x y x ，这种变形不是等价变形，实际上扩大了x 的取值范围，如果从原函数定义域
1≥x ，那么11≥++=x x y ，显然
⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,43y 是错误的。

正解 令1-=x t ，则t ≥0，得12+=t x ，
∴432112
2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y ， 又 t ≥0，∴14321012
2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥++=t t y ， 故原函数的值域为[)+∞∈,1y
例6 求函数5422++=x x y 的值域
错解 令
42+=x t ，则12+=t t
y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为
]21,0(∈y 。

分析 解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。

正解 设y t yt t f +-=2)(，0>y ，),2[+∞∈t ，
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y f f y 或520≤<⇔y 。

故函数得值域为]520，（。

当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式
例7 求函数1222--+=x x x y 的值域
错解
1222--+=x x x y )1(±≠x ----------------------① ∴222-+=-x x y yx ，即()0212=+---y x x y ---------②
当01=-y ，即1=y 时，由②得1=x （舍去），∴1≠y ；
当01≠-y 即1≠y 时，()()02141≥+---=∆y y x 得()0322≥-y , ∴R y ∈。

综上可述，原函数的值域为{y |1≠y 且R y ∈}。

分析 事实上，当23=y ，即1222--+x x x =23时，解得1=x ，而当1
=x 时原函数没有意义，故23
≠y 。

错误的原因在于，当1=x 时，
()212+---y x x y 的值为零，所以1=x 是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数12
22--+=x x x y 不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。

正解原函数可化为y =)1)(1()1)(2(+--+x x x x =)1()
2(++x x )1(±≠x ，即11
1++=x y )1(±≠x , 11
+x 0≠，1≠∴y 且23
≠y
故原函数的值域为{y |1≠y 且23
≠y }。