第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。

3322111a a a I ++= 3323232233131311221212112a a a a a a a a a a a a I ++=3323132322121312113a a a a a a a a a I = 443424143433231324232212141312114a a a a a a a a a a a a a a a a I =,4434343344242422441414111a a a a a a a a a a a a K ++=4434243433232423224434143433131413114424142422121412112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K ++=§6.1 二次曲面与直线的相关位置≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)与过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)将(2)代入(1)得[]0),,(),,(),,(),,(2),,(0000003000200012=++++Φz y x F t z y x ZF z y x YF z y x XF t Z Y X （3）现讨论直线（2）与二次曲面（1）相交的各种情况:1.0),,(≠ΦZ Y X ,这时方程（3）是一个关于t 的二次方程，它的判别式为：[]),,(),,(),,(),,(),,(0002000300020001z y x F Z Y X z y x ZF z y x YF z y x XF Φ-++=∆10 0>∆,有两不等实根,直线与二次曲面有两不同实交点; 20 0=∆,有两相等实根,直线与二次曲面有两相互重合实交点; 30 0<∆,有两共轭虚根,直线与二次曲面有两共轭虚交点 2.0),,(=ΦZ Y X10 0),,(),,(),,(000300020001≠++z y x ZF z y x YF z y x XF ,直线与二次曲面有唯一交点;20 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,但0),,(000≠z y x F 直线与二次曲面无交点30 0),,(),,(),,(000300020001=++z y x ZF z y x YF z y x XF ,且0),(00=y x F ，直线与二次曲面有无穷交点,直线在二次曲面上.§6.2 二次曲面的渐进方向与中心1. 二次曲面的渐进方向定义 5.2.1: 满足0),,(=ΦZ Y X 的方向Y X :：Z 称为二次曲面的渐进方向,否则称为非渐进方向.对于给定的二次曲面≡),,(z y x F xz a xy a z a y a x a 131223322221122++++44342414232222a z a y a x a yz a +++++ (1)和过点),,(000z y x 的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000 (2)当Y X :：Z 为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当Z Y X ::为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2. 二次曲面的中心当Z Y X ::为二次曲面的非渐进方向时,即当02),(22212211≠++≡ΦY a XY a X a Y X以非渐进方向为方向的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xt x x 000与二次曲面交于两个点,由这两点决定的线段叫二次曲面的弦.定义 6.2.2:若点C 是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C 是二次曲面的对称中心,那么点C 叫做二次曲面的中心.定理6.2.1若点),,(000z y x C 是二次曲面的中心,其充要条件是:⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(340330230130003240230230120002140130120110001a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-1） 推论 坐标原点是二次曲面的中心,其充要条件是曲面的方程不含有z y x ,,的一次项。

二次曲面的中心坐标，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++≡=+++≡=+++≡0),,(0),,(0),,(343323133242323122141312111a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F a z a y a x a z y x F （6.2-2）决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组。

根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=342414332313232212131211a a a a a a a a a a a a B 的秩r 与R ，有： 10 3==R r ，这时方程组的系数行列式03323132322121312113≠=a a a a a a a a a I ，方程组有惟一解，二次曲面（1）有惟一中心。

20 2==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。

曲面有无数个中心，这些中心构成一条直线。

30 1==R r ，（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。

曲面有无数个中心，这些中心构成一个平面。

40R r ≠，（6.2-2）无解，这时二次曲面（1）无中心。

定义 6.2.3: 有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面,没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面,有无数中心构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面, 有无数中心构成一平面的二次曲面叫面心二次曲面,二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面心曲面统称为非中心二次曲面.推论 二次曲面（1）成为中心二次曲面的充要条件为03≠I ，成为非中心二次曲面的充要条件为03=I例1 椭球面1222222=++c z b y a x 与双曲面1222222±=-+cz b y a x 的3I 分别为0110010001222222≠=cb ac b a 与0110010001222222≠-=-cb ac b a 所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 与⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-≡=≡=≡0),,(0),,(0),,(232221c z z y x F b y z y x F a x z y x F 因此，它们的中心都是坐标原点（0，0，0）例2 抛物面z by a x 22222=±.其3I =000100122=±b a ，所以抛物面为非中心二次曲面，它的1),,(3-=z y x F ，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例3 对于曲面0222=-+c z y3I =010001000=，所以他是非中心二次曲面，但由于0),,(1≡z y x Fy z y x F ≡),,(2z z y x F ≡),,(3，所以曲面有一条中心直线⎩⎨⎧==0z y ，所给曲面为线心曲面。