第十章 电荷和静电场10-1当用带电玻璃棒吸引干燥软木屑时，会发现软木屑一接触到玻璃棒后又很快跳离。

试解释之。

答：先极化接触后电荷一部分转移至软木屑，后同性电荷相斥。

10-2当带正电的玻璃棒吸引一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有负电荷？当带正电的玻璃棒排斥一个悬挂的干燥软木小球时，我们是否可以断定软木小球带有正电荷？ 答：不能。

①软木小球可能带电荷为零，也可能带有负电荷。

②可以10-3两个相同的小球质量都是m ，并带有等量同号电荷q ，各用长为l 的丝线悬挂于同一点。

由于电荷的斥力作用，使小球处于题图所示的位置。

如果q 角很小，试证明两个小球的间距x 可近似地表示为：12304q l x mg πε⎛⎫= ⎪⎝⎭证：由库仑定律得 ：22014q F x πε=⋅而：tan mg f θ= 2201tan 4q mg xθπε∴=⋅∵ θ角很小 ∴ 12tan sin xlθθ==故： 220124x q mg l x πε⋅=⋅ 23012q l x mg πε⇒=⋅ 即得：12304q l x mg πε⎛⎫= ⎪⎝⎭证毕10-4 在上题中， 如果l = 120 cm ，m = 0.010 kg ，x = 5.0 cm ，问每个小球所带的电量q 为多大？解：由上题得：13202mgx q l πε⎛⎫=± ⎪⎝⎭()132290.0109.8 5.0102 1.28.9910-⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥=±⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦82.410c -=±⨯ 10-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。

根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是110 5.2910r m -=⨯。

质子的质量271.6710M kg -=⨯，电子的质量319.1110m kg -=⨯，它们的电量为191.6010e c -±=⨯ 。

(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。

解：⑴ 220014e e F r πε=-⋅()()21992111.60108.9910 5.2910---⨯=-⨯⨯⨯293822828.99 1.6108.22105.29N -+-⨯=-⨯=⨯ ⑵ 2200214e me F r Mm F G r πε⋅=()29191131278.9910 1.6106.67109.1110 1.6710----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯29381131278.99 1.6106.679.11 1.67-+++⨯=⨯⨯⨯ 392.2610=⨯⑶ 2e mv F F r ==向∴8110318.2210 5.29109.1110e F r v m ---⋅⨯⨯⨯==⨯6318.22 5.29109.1110-⨯=⨯⨯()62.1810m s =⨯ 10-6 边长为a 的立方体，每一个顶角上放一个电荷q 。

解： 由对称性可知，任一顶角的电荷所受合力的大小是相等的。

如图示，求其中任一顶点A 上电荷所受的力。

建立直角坐标系()()()22222222001111sin 45cos 4544443223x q q q q F a aaa πεπεπεπε=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅oo220220220121142323118922341.904q a q a q aπεπεπε⎛=⋅⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭++=⋅⋅=⋅2201.904y z x q F F F aπε-=-==⋅∴ 22016332234x q F F a πε++==⋅⋅2200.26q aε= 与x 轴夹角为cos 3α=与y 轴夹角为cos 3β= 与z 轴夹角为cos 3γ=-即：合力的方向为立方体的对角先方向α=54.73°=54°44′=βγ=10-7 计算一个直径为1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。

解：3334413326d V R d πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 316m v d ρρπ==32319001629 6.021029 1.61063.5d mQ ne N e m ρπ-==⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯()3323231953.148.9610 1.561010 6.021029 1.6107.8310663.5c --⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯（注：铜的密度 328.9610kgm ρ=⨯ ， 原子序数为29，原子量063.5m =）10-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。

如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E ，我们就把一个带正电的试探电荷0q 引入该点，测定F/q0。

问0Fq 是小于、等于还是大于该点的电场强度E ？答：若考虑电荷在电场力的作用下会在小球内产生移动（如图所示）同性相斥，则由于试探电荷0q 的引入，则该点的电场强度E r 比0Fq r要大。

即0F E q >r r ，在没有0q 引入时，小球内的电荷分布是均匀的。

10-9 根据点电荷的电场强度公式204q E rπε=当所考查的点到该点电荷的距离r 接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。

对此应作何解释？答：这里是将电荷当作点电荷来处理，而实际情况当r 接近零时电荷就不能认为是点电荷了。

因此此时公式204q E rπε=不成立。

10-10 离点电荷50 cm 处的电场强度的大小为12.0N c -⋅。

求此点电荷的电量。

解： 204q E r πε=∴ ()2211090.50 2.04 5.6108.9910q r E c πε-⨯===⨯⨯ 10-11 有两个点电荷，电量分别为5.0⨯10-7C 和2.8⨯10-8C ，相距15 cm 。

求：0q +(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度； (2)作用在每个电荷上的力已知：点电荷 71 5.010;q c -=⨯ 82 2.810;q c -=⨯ 115 1.510r cm m -==⨯求：1212;;;E E F F 解： ()1794112210 5.0108.991019.98104 1.510N C q E r πε--⨯⨯⨯===⨯⨯ （方向沿两电荷联线向外）()894222210 2.8108.9910 1.12104 1.510N C q E r πε--⨯⨯⨯===⨯⨯ （同上）8443211221 2.81019.981056.9410 5.6910F F q E N N ---=-==⨯⨯⨯=⨯=⨯（方向沿两电荷联线相互排斥）10-12 求由相距l 的 ±q 电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度： (1)轴的延长线上距轴心为r 处，并且r >>l ； (2)轴的中垂面上距轴心为r 处，并且r >>l 。

解：（1）()()1222004422q q E E E llr r πεπε=-=--+()()2202422q rl l lr r πε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦∵ r l ? 304ql r πε=∴3024pE r πε=r r（2）如图示：()()12222022cos 2422lqE E l l r r απε==⋅⋅⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()3222042ql l r πε=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∵,r l p ql =r r? ∴304p E r πε=-r r10-13 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。

求： (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>L ； (2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a 处的电场强度，并且a >>L 。

解：（1）取细棒的一线元dx ，则dx 中的电荷为qdx l⋅。

可视为点电荷 ∴()204q dx l dE a x πε⋅=+ 方向沿轴线方向 故：()()()22222022044l ll l q dx d a x q l E l a x a x πεπε--⋅+==++⎰⎰ 2021|4ll ql a x πε-⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭011422ql l l a a πε⎛⎫ ⎪=⋅- ⎪-+⎝⎭2204()4ql ll a πε=⋅-∴2204()4ql E i ll a πε=⋅-u rr（2） 2204()q dx l dE a x πε+⋅=+ 2204()q dx l dE a x πε-⋅=+ ∴ ()122220212sin 24()qdx l dE dE a x axαπε+⋅==⋅⋅++∴ 2233022220220202244()()l l l q q a dxa dx llE a x a x dE πεπε⋅⋅⋅==++=⎰⎰⎰2222222200202224444lq l q a a l l a a x a a x la a πεπεπε0⋅⋅=⋅=⋅=+++∣∴ 1222044qE j l a a πε=⎛⎫+ ⎪⎝⎭r r10-14 一个半径为R 的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。

求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a 的一点的电场强度。

解：如图：圆环上一线元Rd λθ上产生的电场强度为：2204()Rd dE a R λθπε+=+与其对称的一线元Rd λθ产生的电场强度为 ：2204()Rd dE a R λθπε-=+，两个电场强度的合成为：122222022sin 4()()Rd adE dE a R a R λθαπε+==⋅++ ∴ 3330222222222000224()4()2()Rd Ra RaE a R a R a R πλθλλπεπεε===+++⎰故： 32220124()RaE k a R πλπε=⋅+r10-15 一个半径为R 的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。

求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a 的P 点电场强度。

解：由上题知，圆环上电场强度32220124()RaE k a R πλπε=⋅+r 环32220124()RadR k a R πσπε=⋅+r∴33022222200121244()()R RRadR ak E k a R a R πσπσπεπε0=⋅=⋅∣++⎰ru r r 盘2222001621142k k a R a R πσπεε⎡⎤⎛⎫=⋅-=- ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭r r10-16 一个半径为R 的半球面均匀带电，面电荷密度为s 。

求球心的电场强度。

解：由题9-14知：圆环的电场强度为：32220124()rzE i r z πλπε=⋅+r 环2230124R z zRd i Rπσθπε-=rg g 02sin cos 4d i πσθθθπε=r ∴200001sin cos 24424E i d i i πππσπσσθθθπεπεε20==⎢=⎰u r r r r 半球面 10-17 回答下列问题:(1)处于高斯面内的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都有贡献？是否只要电量相同，贡献就相等？(2)处于高斯面外的任何位置上的电荷对该高斯面的电通量是否都无贡献？(3)假设一个点电荷正好处于高斯面上，那么这个点电荷对该高斯面的电通量是否有贡献？答：（1）是的。