例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)

y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
依此类推，可得n阶差分方程： y[(k n)T ] a1 y[(k n 1)T ] .......an1 y[(k 1)T ] an y[kT ]
y(k 2) a1 y(k 1) a2 y(k ) br (k )
b0 r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr (kT )
解:
z 2Y ( z) - z 2 y(0) - zy(T ) zY ( z) - zy(0) 0.24Y ( z) U ( z)
z U ( z) z2 Y ( z) 2 z z 0.24 ( z 1)( z 2 z 0.24)
z[ z ] ( z 1)( z 0.4)( z 0.6)
初始条件为：y(0)=0, y(T)=1
y(k+2) +3y(k+1) +2y(k)=1(k) 初始条件为：y(0)=0, y(1)=1
解: [ z 2Y ( z ) - z 2 y (0) - zy (T )] 3[Y ( z ) - zy (0)] 2Y ( z )
2 z z ( z 2 3z 2)Y ( z ) z z 1 z 1
y (k 2)T a1 y (k 1)T a2 y(kT ) br(kT ) y(k ) a1 y(k 1) a2 y(k 2) br (k ) 二阶后向差分方程： y(kT ) a1 y (k 1)T a2 y (k 2)T br (kT )
KT
y[(k 1)T ] ( KT -1) y(kT ) KTr (kT ) y(k 1) ( K -1) y(k ) Kr (k )
-
z
1
y(kT)
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。
迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k n)T ] a1 y[(k n 1)T ] ...... an1 y[(k 1)T ] an y[kT ] b0 r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr (kT )
y (t ) y(kT )(t kT )
* n 0
[1/ 6 1/ 2(1) k 2 / 3(2) k ](t kT )
n 0

例4：求y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数 作用下的解。初始条件y(0)=0, y(T)=1。
z z 1
z2 Y ( z) 2 ( z 3z 2)( z 1) z 1/ 6 1/ 2 2 / 3 z[ 2 ] z[ ] ( z 3z 2)( z -1) z -1 z 1 z 2
y(kT ) z 1 ( y( z)] 1/ 6 1/ 2(1)k 2 / 3(2)k
差分方程及其Z变换法求解
一、离散系统的差分方程模型
一阶前向差分方程： y (k 1)T ay(kT ) br (kT ) 一阶后向差分方程：
y(k 1) ay(k ) br (k )
y(kT ) ay (k 1)T br (kT )
二阶前向差分方程：
y(k ) ay(k 1) br (k )
y(3) =-3y(2) -2y(1)+1(1)= -3*(-2)-2*1+1= 5 。。。。。3T )
Z变换法：是用z变换实数位移定理、将差分方程化为以z为变 量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。 Z变换法得到解的收敛表达式，而不是级数形式，更具有直观 性，便于理论分析与研究。 例3：用Z变换法解二阶差分方程 y[(k+2)T]+3y[(k+1)T]+2y(kT)=1(kT)