集合与函数概念
一、集合的基本概念与运算
(一)元素与集合
1.集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素。

把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。

通常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示集合，用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示元素。

2.集合中元素的特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。

“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。

(3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。

3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

4、元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就是说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；
所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记作N *或N +；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

解析 ⎩⎨⎧==,1,2xy x y 由① 2,1,y xy x =⎧⎨=⎩
或 ②
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。

解②得x= -1或1(舍去)
这时y=0
∴x= -1，y=0
6、集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

适用条件：有限集或有规律的无限集
形式：{}n a a a a ，⋯,,,321
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。

形式：{})(x p D x ∈，其中x 为元素，p(x)表示特征。

(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。

例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于10既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
(4)方程x 2+x+1=0的实数根组成的集合。

解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为：
{}N n n x x A ∈+==,12，A 是无限集。

(2)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{}7,5,3=B ，集合 B 是有限集。

(3)所求集合可表示为：{}00),(<<=y x y x C 且，集合C 是无限集。

(4)因为方程x 2+x+1=0的判别式的Δ<0，故无实数，所以方程x 2
+x+1=0的实根组成的集合是空集φ。

(二)集合的基本关系
1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个无素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作)(A B B A ⊇⊆或，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)。

数学表述法可简述为：若B x A x ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集。

(如图)
2、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集)(B A ⊆，且集合B 是集合A 的子集)(A B ⊆，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A=B 。

数学表述法可描述为：对于集合A 、B ，若B A ⊆，且B A ⊆，则集合A 、B 相等。

3、真子集：若集合B A ⊆，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集。

4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（三）集合间的基本运算
1
、并集
一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B (读作“A 并B ”)，即{}B x A x x B A ∈∈=⋃或,
可用Venn 图表示为
2、交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作B A ⋂(读作“A 交B ”)，即{}B x A x x B A ∈∈=⋂且,。

可用Venn 图表示为
3、全集与补集
(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。

(2)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合(1) A A A ⊆⊆,φ。

(2) φ B(其中B 为非空集合)。

(3)对于集合A ，B ，C ，若C A C B B A ⊆⊆⊆则,,。

(4)对于集合A ，B ，若B A A B B A =⊆⊆则且,。

(6)含n 元素的
集合的全部子集个数为2n 个，真子集有2n -1个，非空子集有2n -1个，非空真子集有
2n -2个。

(7){}A a A a ∈⊆与是不同的，前者为包含关系，后者为属于关系。

拓展与提示：对于任意集合A 、B ，有(1);,A A A A A =⋃=⋃φ(2)A B B A ⋃=⋃;
(3))(),(B A B B A A ⋃⊆⋃⊆;(4)B A A B A ⊇⇔=⋃。

拓展与提示：对于任意集合A 、B ，有(1);,φφ=⋂=⋂A A A A (2)A B B A ⋂=⋂； (3)B B A A B A ⊆⋂⊆⋂)(,)(；(4)B A A B A ⊆⇔=⋂；(5))()(B A B A ⋃⊆⋂。

A
的补集，记作{},uA x x U x A =∈∉且。

例 设集合{}{}9,1,5,4,12,2x x B x x A --=--=，若A ∩B={}9，求A ∪B 。

解析 由A ∩B={}9得，9∈A 。

∴x 2=9或2x-1=9
①由x 2=9得，x=±3。

当x=3时，{}{}9,2,2,4,5,9--=-=B A ，与元素的互异性矛盾。

当x=-3时，{}{}9,4,8,4,7,9-=--=B A ，此时，{}.9,4,4,7,8---=⋃B A
②由2x-1=9得x=5.
当x=5时，{}{}9,4,0,4,9,25-=-=B A ，此时，{}9,4-=⋃B A ，与题设矛盾。

综上所述，{}.9,4,4,7,8---=⋃B A
4、集合中元素的个数：（不做要求）
在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card 来表示有限集合A 中元素的个数。

例如：{}3)(,,,==A card c b a A 则.
一般地，对任意两个有限集A ，B ，有card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B).
当时仅当A ∩B=φ时，card(A ∪B)=card(A)+card(B).
解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn 图。

例 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
解析 设{
}田径运动会参赛的学生=A ，{}球类运动会参赛的学生=B ，那么 {}{}所有参赛的学生，两次运动会都参赛学生=⋃=B A B A ，
Card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B)
=8+12-3=17
拓展与提示：(1)A ∩()uA =φ，A ∪()uA ，=U ；（2）()u uA =A ，uU =φ，u φ=U ； (3) ()u A B =()()uA uB ，()u A B =()()uA uB 。

(4)
下图中的①~④分别表示为
①A ∩()uB ， ②()uA ∩B ， ③A ∩B ， ④()()uA uB
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。