答案
9 2
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R 热点命题·深度剖 析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”，应 怎样理解这句话？ 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”时，应理解 为：①“当”就是a＝b时，a2＋b2＝2ab；②“仅当”指的是a2＋ b2＝2ab时，a＝b.也就是a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
第六章 不等式、推理与证明
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第四节 基本不等式
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
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备考知考情 本节主要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基 本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中．若考 查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式， 构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升．若以解答 题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决 实际问题.
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变式思考 1 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求 证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴ 1a ＋ 1b ＋ 1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋ a＋bc ＋c ＝3＋ ba ＋ ac ＋ ab ＋ bc ＋ ac ＋ bc ＝3＋ ba＋ab ＋ ac＋ac ＋ bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
)
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．下列结论中不正确的是( )
A．a＞0 时，a＋1a≥2 B.ba＋ab≥2
C．a2＋b2≥2ab
D．a2＋b2≥a＋2 b2
解析 ∵ba＋ab≥2，只有当a，b同号且不为零时成立，故ba＋
ab≥2不一定成立．
答案 B
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知识点二
利用基本不等式求最值
b 的几何平均数．
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知识点二 利用基本不等式求最值 已知 x>0，y>0，则 1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小值是 2 p (简记：积定和最小)． 2．如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最
s2
大 值是 4 (简记；和定积最大)．
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即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. ∴ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【规律方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不 等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使 用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧 有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法 等．
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对点自测
知识点一
基本不等式
1.判一判
(1)ab≤a＋2 b2 成立的条件是 ab>0.(
)
(2)函数 f(x)＝cosx＋co4sx，x∈(0，π2)的最小值等于 4.( )
(3)x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件．( )
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(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.(
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2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号.
A.13
B.12
3
2
C.4
D.3
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解析
由0<x<1，故3－3x>0，则x(3－3x)＝
1 3
×3x(3－3x)≤
1 3
×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．
答案 B
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5．若正数a，b满足1a＋4b＝2，则a＋b的最小值为________．
解析 a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)21a＋2b ＝12＋2＋2ba＋2ba≥12＋2＋2＝92.
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问题2 应用基本不等式求最值应满足的条件是什么？ 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三 相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本 不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一 致．
3.若x＞54，则f(x)＝4x＋4x－1 5的最小值为(
)
A．－3 C．5
B．2 D．7
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解析 f(x)＝4x＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋5. ∵x＞54，∴4x－5＞0，∴4x－5＋4x－1 5≥2. 故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝32. 答案 D
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4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
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听 课 记 录 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. ∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13. (2)∵ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
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高频考点
考点一
利用基本不等式证明不等式
【例1】 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 求证：(1)ab＋bc＋ac≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【思维启迪】 (1)由基本不等式a2＋b2≥2ab易证；(2)由ab2＋ b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c相加可证．
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考点二
利用基本不等式求最值
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J 基础回扣·自主学 习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
基本不等式
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b
(3)其中 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab 称为正数 a，