杨浦区2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 试 卷 2016.1(测试时间:100分钟,满分:150分)考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是……………( ▲ ) (A )222+=x y ;(B )2)2(2+=x y ; (C )2)2(2-=x y ;(D )222-=x y . 2.以下图形中一定属于互相放缩关系的是………………………………………( ▲ ) (A )斜边长分别是10和5的两直角三角形; (B )腰长分别是10和5的两等腰三角形; (C )边长分别为10和5的两菱形; (D )边长分别为10和5的两正方形.3.如图,已知在△ABC 中,D 是边BC 的中点,a BA =,b BC =,那么DA 等于…( ▲ )(A )b a -21; (B )b a 21-; (C )a b -21; (D )a b 21-.4.坡比等于1∶3的斜坡的坡角等于 ……………………………………………( ▲ ) (A )︒30;(B )︒45; (C )︒50;(D )︒60.5.下列各组条件中,一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是…………………( ▲ ) (A )∠A =∠E 且∠D =∠F ; (B )∠A =∠B 且∠D =∠F ; (C )∠A =∠E 且AB EFAC ED =;(D )∠A =∠E 且AB FDBC DE=. 6.下列图像中,有一个可能是函数20)y ax bx a b a =+++≠(的图像,它是…( ▲ )(A ) (B ) (C ) 1 x y x y11 1 AC(第3题图)二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.如果23x y y -=,那么xy = ▲ .8.如图,已知点G 为△ABC 的重心,DE 过点G ,且DE //BC , EF //AB ,那么:CF BF = ▲ . 9.已知在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 和BC 上,AD =2,DB =1,BC =6,要使DE ∥AC ,那么BE = ▲ .10.如果△ABC 与△DEF 相似,△ABC 的三边之比为3:4:6,△DEF 的最长边是10cm ,那么△DEF 的最短边是 ▲ cm .11.如果AB //CD ,23AB CD =,AB 与CD 的方向相反,那么AB = ▲ CD . 12.计算:︒-︒30cot 60sin = ▲ . 13.在△ABC 中,∠C =90°,如果1sin 3A =,AB =6,那么BC = ▲ . 14.如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-,那么c 的值是 ▲ . 15.抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ▲ .16.如果1(1,)A y -,2(2,)B y -是二次函数2+y x m =图像上的两个点,那么y 1 ▲ y 2(请填入“>”或“<”).17.请写出一个二次函数的解析式,满足:图像的开口向下,对称轴是直线1x =-,且与y 轴的交点在x 轴下方,那么这个二次函数的解析式可以 是 ▲ .18.如图,已知将△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折, 点A 恰好落在边BC 的中点M 处,且AM =BE ,那么 ∠EBC 的正切值为 ▲ .三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分)如图,已知两个不平行的向量a 、b . 先化简,再求作:13(3)()22a b a b +-+.(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)ba(第19题图) AB CDE F· G(第8题图)(第18题图)E20.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分)已知二次函数20)y ax bx c a =++≠(的图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示:x … -1 0 2 4 … y…-511m…求:(1)这个二次函数的解析式;(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m 的值.21.(本题满分10分,其中每小题各5分)如图,梯形ABCD 中,AD //BC ,BC =2AD ,点E 为边DC 的中点,BE 交AC 于点F . 求:(1)AF :FC 的值;(2)EF :BF 的值.22.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分) 如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD 的A 、C 两点处测得该塔顶端F 的仰角分别为α和β,矩形建筑物宽度AD =20 m ,高度DC =33 m . (1) 试用α和β的三角比表示线段CG 的长;(2) 如果=48=65αβ︒︒,,请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG 的值(结果精确到1m ).(参考数据:sin48°≈0.7,cos48°≈0.7,tan48°≈1.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)23.(本题满分12分,其中每小题各6分)已知:如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,DE //BC ,点F 在边AB 上,BA BF BC ⋅=2,CF 与DE 相交于点G . (1)求证:DF AB BC DG ⋅=⋅; (2)当点E 为AC 中点时,求证:2EG AFDG DF=.AB C DE F (第21题图) (第23题图)ABCDE GF (第22题图)E24.(本题满分12分,其中每小题各4分)已知在平面直角坐标系中,抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,直线4+=x y 经过A 、C 两点. (1)求抛物线的表达式;(2)如果点P 、Q 在抛物线上(P 点在对称轴左边),且PQ //AO ,PQ =2AO .求点P 、Q 的坐标;(3)动点M 在直线4+=x y 上,且△ABC 与△COM 相似,求点M 的坐标.25.(本题满分14分,其中第(1)小题4分,第(2)、(3)小题各5分)已知菱形ABCD 的边长为5,对角线AC 的长为6(如图1),点E 为边AB 上的动点,点F 在射线AD 上,且∠ECF =∠B ,直线CF 交直线AB 于点M . (1) 求∠B 的余弦值;(2) 当点E 与点A 重合时,试画出符合题意的图形,并求BM 的长;(3) 当点M 在边AB 的延长线上时,设BE =x ,BM =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.A B C D(图1)A B C D (备用图) (第25题图) A O B Cy (第24题图)杨浦区2015学年度第一学期期末考试初 三 数 学 答 案 2016.1一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1. A ; 2. D ; 3. B ; 4. A ; 5. C ; 6. C ; 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.53; 8.1:2; 9.2;10. 5; 11.32-;12. 13.2; 14.5;15.x=1;16.<;17.221y x x =---等;18.23;三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.解:13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+-------------------------(1分) 2a b =-+----------------------------------------------------------------------(4分)画图正确4分(方法不限),结论1分.20.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分)解:(1)由题意可得:154211c a b c a b =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩-----------------------------------(3分)解得:1=-24c a b =⎧⎪⎨⎪=⎩,即解析式为2241y x x =-++---------------------------(3分)(2)∵222412(1)3y x x x =-++=--+,∴顶点坐标是(1,3), ------(2分)∴当x=4时,y=-15,即m=-15. ------------------------------(2分)21.(本题满分10分,其中每小题各5分)解:(1)延长BE 交AD 的延长线于点M ,∵AD//BC , ∴DE DM EC BC =,AF AMFC BC=-------------------------------------------(2分) ∵点E 为边DC 的中点,∴DM=BC ,∵BC=2AD ,∴DM=2AD ,∴AM=AD+DM=3AD, ----------------------------------(1分)∴3322AF AD FC AD ==------------------------------------------------------------------(2分) (2)∵AD//BC ,∴32FM AM BF BC ==,1EM DEBE EC==,-------------(1分,1分)∴52BM BF =,21BM BE =∴54BE BF =,---------------------------------------(1分) ∴14EF BF =-----------------------------------------------------------------------(2分) 22.(本题满分10分,其中第(1)小题6分,第(2)小题4分) 解:(1)如图,延长AD 交FG 于点E .在Rt △FCG 中,tan β=FGCG ,∴tan FG CG β=⋅----------------------(2分)在Rt △F AE 中,tan α=FEAE ,∴tan FE AE α=⋅------------------------(1分)∵FG -FE =EG =DC =33,∴tan tan =33CG AE βα⋅-⋅-----------------------------------------------(1分) ∵AE=AD+DE=AD+CG =20+CG , ∴tan 20+)tan =33CG CG βα⋅-⋅(, ∴3320tan tan tan CG αβα+=-.----------------------------------------------------------(2分)(2)∵tan FG CG β=⋅,∴33tan 20tan tan tan -tan FG βαββα+⋅=-------(1分)∴33 2.1+20 1.1 2.1FG=2.1-1.1⨯⨯⨯ = 115.5≈116.--------------------------(2分)答:该信号发射塔顶端到地面的高度FG 约是116 m .-------------------------(1分)23.(本题满分12分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分) (1) 证明:∵BA BF BC ⋅=2,∴BC BABF BC=,------------------------------------(1分) 又∵∠B=∠B ,∴△BCF ∽△BAC ,------------------------------------------(2分) ∵DE //BC ,∴△FDG ∽△FBC ,----------------------------------------------(1分)∴△FDG ∽△CBA ,--------------------------------------------------------------(1分)∴FD DGCB BA=,即DF AB BC DG ⋅=⋅.----------------------------------(1分) (2) 证明:∵DF AB BC DG ⋅=⋅,∴DF BCDG AB=, ∵△BCF ∽△BAC ,∴=BC CFAB AC,----------------------------------------------------(1分) ∵E 为AC 中点, ∴AC=2CE ,∴1=2CF CFAC CE,∴12BC CF AB CE =----------------(1分) ∵△BCF ∽△BAC ,∴∠BCF=∠BAC,又∵DE //BC ,∴∠EGC=∠BAC,而∠ECG=∠FCA, ∴△CEG ∽△CFA ,------------------------------------------------(2分)∴CF AFCE EG =,----------------------------------------------------------------------------(1分) ∴12DF AF DG EG =,即2EG AF DG DF=---------------------------------------------------(1分)24.(本题满分12分,其中第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分) 解:(1)∵直线4+=x y 经过A ,C 两点,∴A (-4,0),C (0,4),--------------(2分)∵抛物线c bx x y ++-=221过点A 、C , ∴抛物线的表达式是2142y x x =--+。