第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

(2)设0, x 0, 0, x 0,求f ( x)g( x)x 2 ,x, x 0,, x 0,f [ f (x)], g[ g( x)], f [g (x)], g[ f ( x)] .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言 ,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质 1(极限的唯一性 ) 如果数列x n 收敛 ,那么它的极限唯一。

性质 2(收敛数列的有界性 )如果数列 x n 收敛 ,那么数列 x n 一定有界。

性质 3(收敛数列的保号性 ) 如果lim xna ,且 a 0(或 a 0 ),那么存在nn 0 N,使得当 n n 0 时,都有 x n 0 (或 x n 0 ).性质 4(数列极限的四则运算法则 )如果 limx n a,limynb, 那么nn(1)lim n (x n y n )a b ;(2) lim x n ? yna ?b ;n(3)当 y n 0( n N ) 且 b 0 时,lim xna .ny nb例 3 若limx na,则limxna .nn注: 例 3 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n, 显然 limxn1,n但数列 x n( 1)n 没有极限。

例 4 如果数列 x n 收敛 , 那么数列 x n 一定有界。

注: 例 4 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n , 显然数列 x n 有界 ,但数列 x n(1)n 没有极限。

例 5 设 a n , b n ,cn均为非负数列 , 且liman0,lim b n1,limcn.nnn下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果是错的 , 试给出一个反例。

(1) a n b n , n N ;(2) b n c n , n N ;(3) lim n a n c n 不 存在 ;(4)limb n cn不存在 .n解:(1)是错的 , 我们可以令 a n1 , b n n , 显然 lim an0,lim bn1 ,n n 1nn但 a 1 1,b 1 1, 从而 a 1 b 1 .2n1(2) 是 错 的 , 我 们 可 以 令 b n ,c nn , 显 然n 1 3 limb n 1,limc n, 但 b 1 1 , c 1 1 , 从而 b 1 c 1 .nn2 3(3)是错的 , 我们可以令 a n1 , c n 1 n , 显然lim an0,lim cn,n 3nn但lim n a n c n lim n1 1 1( n ? 3 n) 3.(4) 是对的 ,由于lim nb n 10,lim n c n,则 lim n b n c n, 即极限 limb n cn不存在。

n注 1: 极限的保序性是说 , “若 lim a na ,lim bnb, a b , 则存在 n 0Nnn使得当 n n0时有 a n b n.”,而不是对任意的 n N 有 a n b n.注 2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论 :若lim a n a0,lim b n , 则lim a n b n .n n n练习题 : 设数列 x n与 y n满足lim x n y n0,则下列断言正确的是( )n(A)若(B)若(C)若x nx nx n发散 , 则无界 , 则有界 , 则y n必发散.y n必无界.y n必为无穷小.(D)若1x n为无穷小 , 则y n必为无穷小 .方法二利用一些常用的结论(1) 设数列x n 有界 , 又lim y n0 , 则lim x n y nn n0, q 1(2) lim n q n1),limnn1 . 0( q q 1, q, q 1(3)10) . lim a n 1(an例 6 lim 1cosn0 .n n 2练习题 : (1) lim(n n2 1 1)sin n _______.n 2(2) lim(n n 1)sin n __________.n 2例 71lim (a n b n c n) n max a, b, c (a 0, b 0, c n解:1 1由于 max a,b, c (a n b n c n) n 3n max a,b, c0.0).1,故lim(a n b n c n ) nnmax a, b, c .练习题 : 已知 a 1 10,......, a m, 求极限 lim(a1n...... a m n ) n .n1 x2 nx, x 1例 81 . lim n 1 x2 nx0, xx, x 11x 2 n解:当 x1时lim 1 x 2 nx x;n1 x 2n当x 1时lim n 1 x 2nx 0;1 x 2n11当 x 1时 lim lim x 2nx .2n xx1 xnn11x 2n1 x 2nx, x 1 故 limx 0, x 1 .1x 2n nx, x 1练习题 :lim 1 x________.1 2 nnx方法三 利用 Heine 定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限Heine定理 :lim xx f ( x) A 的充分必要条件是 : 对于任意满足条件limxnx 0 且 x n x 0 (n N ) 的数列 x n, 相应的函数值数列 f ( x n ) 成立nlimf (x n)A.n1例 9 设数列 x n 满足 x n0(n N)且 limxn0 , 计算lim(sin x n) x n2.nnx n解: 我们考虑函数极限1sin x x 2lim x0 ( x)ln(sin x) ln(1sin x1)sin x 1 sin x x cos x 1xxxlim ex 2limex2lim e x 2lim e x 3lim e 3 x 2x 0x 0x 0x 0x 0sin x1lim e 6 xe 6x 01从而lim(sin x n) x n 2nx n练习题 : 设数列1 1lim(sin x) x 2e 6 .xx1x n 满足 x n0(n N )且 limxn0 ,计算lim[ln(1 x n )] x n .nnx n方法四 利用夹逼准则例 10 计算limn( 11 ......1) .n 2n 2 2 n 2nn解: 由于n 2n( 11......1 )n 2, 故2n2n 22n 2n2nnnlimn( 11......1) 1 .2 n 22n 2nnn练习题 : (1) 计算lim(11......1) . n 21 n 22 n 2nn (2)计算 lim( 12......n ) .2 n1 2n 2n 2nnnnn(3)计算 lim(1 11 ...... 1 ) n 1 .n2 3 n(4)计算lim(11......1) .1n2nnnn方法五 利用单调有界准则适用题型 : (1) 由递推关系 x n 1 f ( x n ) 定义的数列 x n 极限问题 , 一般先 用单调有界准则证明极限存在 , 然后等式两边取极限求出极限。

(2)有些题目直接给出了数列x n 的通项公式 , 要求我们证 明数列 x n 的极限存在 , 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存在。

例 11 (1996, 6分) 设 x 1 10, x n 1 6x n (nN ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。

证明 : 先证明数列 x n 是单调减少的。

由于 x n 1 x n6 x n x n(3 x n )(2 x n )n N ) , 所以数列 x n是单6 x n0(x n调减少的。

注意到 0 x n x 1 ( n N ) , 于是数列 x n 有界 , 故数列 x n 极限存在。

设 limx n a , 等式 x n 1 6 x n 两边取极限 得 a6 a , 即 a 3 或 na 2 , 又 0 ax 1 10 ,所以 a 3 , 亦即 limx n3.n练习题 : (1)证明数列 2, 22, 222 ,...... 的极限存在 , 并求此极限。

(2) 设 x 12, x n 12x n ( n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。

(3) 设 x 1 1, x n 14 3x n (n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求此极限。

(4) 设 0x 1 1, x n 1 x n (2 x n )(n N ) , 试证数列 x n 极限存在 ,并求此极限。