h
12
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无 字证明”。
约公元学2科6网 3 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
bc a
bc a
b
c
这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结 合的思想方法。
h
19
<四>练习提升
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中 三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边
长度比为3:4，求两直角h边的长。
20
<五>勾股定理的文化价值
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
h
华罗庚
34
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、
12厘米，那么斜边上的高是（ ）
A、6厘米
B、 8厘米；
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
h
35
c a
b
a
c b
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三
边长是否满足a2+b2=c2？h
36
3、等腰三角形底边上的高为8，
单击图片打开
h
15
第三种类型：
A
方法三:意大利文 艺复兴时代的著名
a
画家达·芬奇对勾
股定理进行了研究。 B
F
c
O
b
C
E
h
D
16
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′
F′ B′
E′
C′
D′
Ⅰ
h
17
<三>尝试拼图,验证勾股定理
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
I
F
a
C
B
①②
D
h
18
利用五巧板拼图验证勾股定理:
周长为32，求这个三角形的面积
解：设这个三角形为ABC，
A
高为AD，设AB为X，则BC
为（32-2X），
BD是（16－x)
8
由勾股定理得：
C
X2=(16-X)2 +82 即X2=256-32X+X2 +64
zxxk
h
1
1.经历探索勾股定理及验证勾股 定理的过程，发展合情推理能 力，体会数形结合的思想。 2.掌握勾股定理，了解利用拼图 验证勾股定理的方法，并能运 用勾股定理解决一些实际问题。
h
2
<一>课前自主探究活动
具体的做法是： 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可
能多地寻找和了解验证勾股定理的方法. 探究报告 《勾股定理证明方法汇总》
如图，梯形由三个直角三角形组合而
成，利用面积公式，列出代数关系式,
得
1(ab)(ba)21ab1c2.
2
22
化简,得 a2 b2 c2.
a
bc c
a b
h
9
第一种类型：
方 法 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。 三
将4个全等的直角三角形拼成边长
为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下
边长c的一个正方形洞．画出正方形
何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
如图，过 A 点画一直线 AL
使其垂直于 DE， 并交 DE
于 L，交 BC 于 M。通过证
明△BCF≌△BDA，利用三
角形面积与长方形面积的关
系，得到正方形ABFG与矩
形BDLM等积，同理正方形
ACKH与 矩形MLEC也等积，
于是推得
A B2A C2B C2
h
13
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无 字证明”。
④
b
c
⑤
③
a
①
②
无字证明
h
14
第三种类型：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现
的一种拼图证明
做法是将一条垂直线和一条水 平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色,将两 个直角边的正方形填入斜边正方形 之中，便可完成定理的证明。
h
4
问题思考
对某一验证方法
<1> 运用了哪些数学知识？ <2> 体现了哪些数学思想方法？ <3> 这种方法与其他方法比较，有什么 共同点和不同点？
h
5
h
6
第一种类型：
方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注 解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”， 这是我国对勾股定理最早的证明.
ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，
图1
于是留下了边长分别为a与b的两个正方
形洞．则图1和图2中的白色部分面积必
定相等，所以c2=a2+b2
图2
h
10
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几
何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
h
11
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几
h
25
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2
a2
h
26
证明
a2
b2
h
27
证明
h
28
证明
h
29
证明
h
30
证明
a2 + b2 = c2
c2
h
31
无字证明
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
h
32
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
h
33
青朱出入图
青出
青方
青 出
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正
是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
h
7
c
由面积计算,得 c2 41ab(ba)2. 2
展开,得 c 2 2 a b b 2 2 a b a 2 .
化简,得 c2 a2 b2.
h
8
第一种类型：
方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总 统证法”.
方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法
h
3
<二>验证过程的分析与欣赏
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表 z.x.x.k ，用几何 图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒 等关系;
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运 用欧氏几何的基本定理进行证明;
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表， “无字证明”.
21
ห้องสมุดไป่ตู้
<六>小结反思
学生反思：
我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
h
22
<七> 课题拓展
（1）写数学日记并发挥你的聪明才智， 去探索勾股定理、去研究勾股定理， 你又有什么新的发现？
（2）尝试利用意大利著名画家达·芬 奇的方法验证勾股定理？
h
23
h
24
勾股定理的有关证明
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙 “人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与 “外星人”联系的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
h