同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
勾股树1
勾股树2
A
C
bc a
B
图1(1)
1.在图1(2)中，∆ ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。 （1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么 Rt ∆ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边 的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的 等量关系？ （2）如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c， 那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关 系表示出来呢？
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注 意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理” 有用吗？
教师寄语
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm． 动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm,则它的斜边长是多少? （5cm） 动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系? 32 42 52 动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗?
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
1 2 3
a 6 5
9
b 8 12
12
c
10 13 15
c 2 a2 b2
100 100 169 169 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ 4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单
位mm),求两孔中心A、B之间的距离. 解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） BC=160-40=120（mm) 由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2) ∵AB＞0, ∴AB=130(mm)
1
E
a
B
CED
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
a2+b2=c2
a
c
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾
弦 股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
探索勾股定理
假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 “数”，另一个是“数形关系”（勾股定 理）。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。
x2+22=(x+1)2
1 C
2 ┓
H
x ?
B
3.巩固提高之灵活运用 如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
(1)求梯子上端A到墙的 底端B的距离AB。
（2）若梯子下部C向后 移动2米到C1点，那么梯 子上部A向下移动了多少 2 C1 C 米？
10
A
A1
6
B
4.应用知识之学海无涯
作业快餐：
1.完成课本习题１、2、3（必做） 2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三 边为 直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系? 为什么? （必做） 3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
图1(2)
B
A 图2（1）
C 图2（2）
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。 （1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他 们的面积之间具有怎样的等量关系？ （2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的 等量关系反映了Rt ∆ABC三边之间怎样的关系吗？把它 写出来。
1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来， 人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明 了的证明，就把 这一证法称为 “总统证法”．
b
A
b
∵ S梯 形 AB CD= a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵S梯 形 AB CD=S AED +S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比较上面二式得 c2=a2+b2
a c a ∴a2+b2=c2
；
c
b b
b
c
证明2：
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 b a a c
ab 2 4 C 2
∵ (a+b)2 =
ab 2 4 C 2
c
b
a
b
a
c
b
c
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
∴a2+b2=c2
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
勾
弦
股勾股Fra bibliotek数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯
《勾股圆方图》
１.基础练习之出谋划策
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米
B
D.6米
３
C
４
A
２.回归生活之学以致用
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高 出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵 齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问 这里水深多少? A
a
b
c
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为
2
c2
a
a
1 也可以表示为 (b a ) 4 ab 2 c 1 2 ∵ c2= (b a) 4 ab 2 2 2 =b -2ab+a + 2ab b =a2+b2