110 2 10 2 10 A( ) G ( j ) ( 2 ) ( ) 11 2 112 2 112 2 10 10 ( ) arctg arctg arctg 110 110 11
7
由已知r(t)=sin(t+30°)，得 w=1
5.1 频率特性的概念
一、定义：
线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。
二、特点：
设系统的闭环传递函数
b0 s m b1s m1 ... bm G( s) ............(n m) n n 1 a0 s a1s ... an
输入r(t)=Arsinwt，则 ：
w
A(w)
G(jw)
n G(j ) 2 2 (j ) 2n (j ) n
A( ) G ( j ) 1
P(w)
P
n 2
(n 2 ) 2 (2 n ) 2
2
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
10
2 n ( ) G ( j ) arctg 2 n 2
C1 C2 Cn d d* C(s) ... s s1 s s2 s sn s jw s jw
求拉氏反变换得：
C (t ) C1e C2e ... Cn e de
s1t s2t sn t
jt
d e
* jt
（si 为系统的闭环特征根。）
穿越频率wc： w=1时，L(w)=0，因此wc=1
27
L(w) 20 – 20db/dec 0 w
积分环节
0 90
0.1
1
( )
w
28
理想微分环节
G(s)=s , G( jw)=jw
A( ) , ( ) 900 L( ) 20 lg A( ) 20 lg , ( ) 900
w→∞
1
当 时， A() 0， ()
A(wn) , wn
A1 ,w1 A2 ,w2
1
w=0
18
四、典型环节的对数频率特性
利用半对数坐标系绘制系统的幅频和相频特性， 称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线—— 波德图，或波德曲线。 （一）波德图概念 1、对数幅频特性曲线的横坐标按lgw分度，单位 为弧度/秒(rad/s)； 纵坐标按 L( ) 20 lg 线性分度，单位是分贝 A( ) (dB)。
3、对数幅频曲线的斜率
频率每变化一个十倍频程时对数幅值 L(w) 变化 的分贝数。 例：某对数幅频曲线为 L( ) 20 lg 以十倍频程表示的斜率： L(10 ) L( ) 20 lg 10 20 lg 20dB / dec
21
4、渐近线
对数幅频特性可以用渐近线近似表示
L1 (s ) L2 (s )
6、穿越频率 wc
对数幅频特性曲线与频率轴交点的频率，即： L(wc) = 0 1 L2 (c ) 20 lg 6 20 lg c 0 c 6
24
L(w) 20lg5 –20db/dec
0
1 30 1 6
w
25
（二）典型环节的波德图
0
8
5.2 典型环节的频率特性
一、频率特性的几何表示法
频率特性谱图，幅相频率特性曲线，对数频率特性 曲线等。
二、典型环节的频率特性谱图 ( ) 频率特性G( jw)的A(w)—w、 特性曲线图的
总称。
9
以振荡环节为例：
n G( s) 2 2 s 2n s n
2
2
G( jw)为复数，设其幅值 |G( jw)| = A(w) 相角
G (jw) (w)
j ( )
则：G( j ) A( )e
, G( j ) A( )e
j ( )
3
从而得： d
Ar Ar j ( ) A( )e ，d * A( )e j ( ) 2j 2j
2
对于稳定系统，si 为负数，则当 t →∞时 ， Ciesit →0 ，系统的稳定输出为：
C(t) de
jt
d e
*
jt
(t )
Ar Ar Ar d [G(s) 2 (s j )]s- j [G(s) ]s- j G( j ) 2 s (s- j ) 2j Ar * d G ( j ) 2j
斜率： L(10 ) L( ) 20lg(10 ) - 20lg
20dB/dec
穿越频率wc : 令 L(w)=0，即：20lgw = 0 ∴ wc = 1 它的对数幅频特性与积分环节以0dB线成镜象对称； 其对数相频特性与积分环节以0度线成镜象对称。 29
L(w) 0 0.1

L( ) 20 lg A( ) 20lg
1

20lg , ( ) 900
对数幅频特性的斜率：
令2 101， 则：
L(2 ) L(1 ) L(101 ) L(1 ) 20 lg( 101 ) 20 lg 1 20dB / dec
设某系统的对数幅频特性为：
L( ) 20[lg 5 lg 1 900 2 ]
则可以作出以下两条渐近线：
低频段：w << 1/30 时， 900w2 << 1 可 忽略，于是 2
lg 1 900 0
∴ L(w) 可近似取：
L1 () 20 lg 5
22
高频段：w >> 1/30 时，900w2 >>1 ，故1可忽 略。
2 n arctg 2 1 ( ) n
令 w = 0→∞一系列数值，可求出相应的A 、φ ， 从而绘出不同ζ 时的幅频，相频曲线。
11
A(w)
0
1
0.71
0.5
0 .2
1
0
wn
w
12
( )
0
wn
w


2
ζ =1

0.2
0.7
13
可见： 1、当 w = 0 →∞时，振荡环节的幅频从1 开始 最终衰减为0，阻尼比较小时有峰值存在。而相 频则由 0 → 2、当 w = wn 时，
Ar Ar j [t ( )] C (t ) A( )e A( )e j[t ( )] 2j 2j
e Ar A( )[ 2j Ar A( ) sin[ t ( )] e Ac sin ( )
j [t ( )]
j [t ( )]
lg 1 900 lg 30 L2 ( ) 20[lg 5 lg 30 ]
2
20 lg 6 20 lg
求高频段的斜率：
L2 (10) L2 () 20dB
23
5、转折频率 ws
两条渐近线相交处的频率，也叫交接频率。即：
1 20 lg 5 20 lg 5 20 lg 30s s 30
+ 20dB/dec 1
w
-20
理想微分环节
( )
90 0
w
30
3、惯性环节和一阶微分环节
1 1 惯性环节： G( s) , G( j ) Ts 1 Tj 1 1 A( ) , ( ) arctgT 2 2 1 T
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 T
d( dA( ) 0 dt 1
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
dt
2
) 0
m (r ) n 1 2 , Am
1 2 1 2
15
由m (r ) n 1 2 2 可知：
① ζ >0.707，没有峰值，A(w)随w的增加呈单调衰 减； ② ζ ≤0.707，才发生谐振，有峰值。
]
其中，Ac A r A( )， ( ) t ( )
4
结论：
线性系统在正弦输入信号作用下，其稳态响应仍 是一个正弦函数，其频率与输入信号相同，幅值 Ac是输入信号的A(w) 倍，相角 (比输入信号 ) 的相角移动了 ( )
Ac A( ) Ar
称为输出正弦信号与输入正弦信号的 幅值比（幅频特性）。 信号的相位差（相频特性）。
16
三、典型环节的幅相频率特性
频率特性 G( jw) 在复平面上为一复数矢量，则 当 w = 0 →∞变化时，矢量的端点在复平面内形 成的轨迹 — 奈奎斯特(Nyquist)图，也叫做幅相 图、极坐标图。 以振荡环节为例：
1 1 G( s) 2 2 G( j ) T s 2Ts 1 1 T 2 2 j 2T
对数相频特性曲线的横坐标按lgw分度，单位 为弧度/秒(rad/s)； 纵坐标仍按相角的度数线性分度。
19
L( ) 20 lg A( )( dB)
60 40 20 0
0.1 0.2
1 2
10
w
( )
20
0
-20 -40
0.1 0.2
1 2
10
w
20
2、不论起点如何，只要角频率变化10倍，即 w2/w1=10，横坐标的间隔距离就是一个单位长 度，叫做一个“十倍频程”，以“dec”表示。
10 1 A( ) , ( ) arctg 11 122
又已知 Ar = 1 ，
r 30
0
10 Ac Ar A( ) 122 1 C r ( ) 30 arctg 11 10 1 0 C (t ) sin( t 30 arctg ) 11 122