有限元法
• 能计算具有多种媒质区域内的电磁场； • 能精确地逼近复杂的几何边界； • 能很好地处理非线性问题； • 能精确地描述场源的分布； • 已形成一套比较合理和成熟的算法。
边值问题和条件变分问题
• 有限元法是基于偏微分方程的方法。微分 方程要获得唯一解，必须给定相应的条件， 称为定解条件。微分方程和定解条件作为 一个整体，称为定解问题。对于电机恒定 电磁场问题，定解条件就是边界条件，边 界条件表达场的边界所处的物理情况，这 又被称为边值问题。
磁矢量位A和磁标量位Ф
• 有源（电流）区域或无源区域都可以用矢 量位求解，标量位适用于无电流区域。对 于二维电磁场，矢量位只有一个分量，待 求量个数与标量位相同，其微分方程的形 式具有普适性，而且使用矢量位可以很方 便地绘出磁力线分布并求出磁通，目前电 机的二维电磁场计算大都采用矢量位。
平面场域Ω上的电磁场问题可表 示成边值问题
(a j
b j x c j y)Aj
(am
bm x cm y)Am ]}dxdy
单元节点磁位求偏导数
We Ai
We
A
j
We
Am
kii
k
ji
kmi
kij k jj kmj
kim Ai pi
k
jm
A
j
p
j
kmm Am pm
y j
m 0
i x
1 Nh 2 (ah bh x ch y)
(h i, j, m)
条件变分问题离散化
单元能量函数We为
We ( Ai , A j ,
Am )
{ 82
[(bi Ai
bj Aj
bm Am ) 2
(ci Ai
cj Aj
cm Am ) 2 ]
J 2
[(ai
bi x ci y) Ai
u ) n
f3 ()
典型边界条件
（1）边界线与磁力线重合 （2）边界线与磁力线处处正交
例如，将铁和空气的交界处作为边界，当 区域内是铁、区域外是空气，则该边界线 与磁力线重合；当铁在外空气在内，则磁 力线与边界正交。
（3）周期性条件作为边界条件 如选取一对极的范围作为求解区域，达到 减少计算量、提高计算速度的目的。
2
[(A)2 x
(
A)2 y
]
J
z
Adxdy
2 Ht Adl min
1 : A A0
W
[
A x
A x
A y
A y
]
J
zAdxdy
2 HtAdl 0
有限元法的处理过程
• 区域剖分 • 构造插值函数 • 变分问题离散化 • 形成总体方程 • 方程求解
剖分插值
A Ni Ai N j Aj Nm Am
总体合成
k11 k12 k1n A1 p1
k21 k22
k2n
A2
p2
k条件
第一类边界条件(狄里赫利):边界上的物理条件规定了物 理量u在边界Γ上的值。
u f1()
第二类边界条件(牛曼):边界上的物理条件规定了物理量 u的法向微商在边界上的值。
u n
f2 ()
第三类边界条件（洛平）：边界上的物理条件规定了物 理量u及其法向微商在边界上的某一线性关系。
(u
:
x
A x
y
A y
Jz
1 : A A0
2
:
A n
Ht
矢量磁位计算4极12槽永磁无刷电机的二维磁场求解区域
• 圆弧AB和CD为第一类 边界条件。
• 直线AD和BC为第二类
齐次边界条件（仅计
算永磁磁场）
B
C
D
A
• 直线AD和BC为整周期
边界（计算负载磁场）
边值问题转换为条件变分问题
W (A)