(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居 民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替． 当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
【解析】 (1)如题图所示，用水量在[0.5，3)的频率的和为 (0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.
(1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数．
角度二 样本的数字特征与茎叶图交汇 【例4】 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个 最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的 茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示．
则7个剩余分数的方差为( )
角度三 样本的数字特征与优化决策问题 【例5】 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机 选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃) 制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标
准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标
准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③
B．①④
按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( ) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横
坐标是众数．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
1．(2019·山东高考)
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组
各5名工人某日的产量数据(单位：件)．
若这两组数据的中位数相等，且平均值
A地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并 通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不 要求计算出具体值，给出结论即可)；
A．2，5 C．5，8
B．5，5 D．8，8
【思维升华】 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频 率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从 茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是 茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作 图较烦琐．
跟踪训练2 (2019·全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的 满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用 户对产品的满意度评分如下：
也相等，则x和y的值分别为( )

A．3，5
B．5，5
C．3，7
D．5，7
2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教 师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．93 C．137
B．123 D．167
【解析】 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数， ∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米， w至少定为3. (2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为 (0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋ (0.05×3.5＋0.05×4＋0.05×4.5)×10＝7.8(元)． 即该市居民该月的人均水费估计为7.8元．
【解析】 两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值 高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评 分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 角度一 样本的数字特征与直方图交汇 【例3】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)， 以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240 ，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如 图．
【答案】 C
4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据 的方差是________．
题型一 频率分布直方图的绘制与应用 【例1】 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量 中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米 的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居 民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分 布直方图：
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水 量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小 于0.5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损 零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依 据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
11-2用样本估计总体
2020/9/15
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
3．样本的数字特征
数字 特征
定义
众数 在一组数据中，出现次数_最__多__的数据叫做这组数据的众数
中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置的一个数 据(或最中间两个数据的_平__均__数___)叫做这组数据的中位数
C．②③
D．②④
∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确． 方法二 甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间， 且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和 32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确． 【答案】 B
【思维升华】 平均数与方差都是重要的数字特征，是 对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的 实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差 和标准差描述其波动大小．
跟踪训练3 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三 年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购 买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以 下柱状图：
【思维升华】 (1)明确频率分布直方图的意义，即图中 的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有 小矩形的面积和为1.
(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从 中提炼有用的信息和数据．
跟踪训练1 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制 定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽 样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)． 将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制 成了如图所示的频率分布直方图．
题型二 茎叶图的应用 【例2】 (1)如图是某大学自主招生面试环节中，七位评 委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和 一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )
A．85，84 C．86，84
B．84，85 D．84，86
(2)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英 语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数 为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 _相__等___
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据
的集中趋势．( ) (2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表
示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( ) (3)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶
(1)求直方图中a的值； (2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低 于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
【解析】 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5) 内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2， 2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21， 0.25，0.06，0.04，0.02.
(3)设中位数为x吨． 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝ 0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜ 0.5，所以2≤x＜2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48， 解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.