ff( L )d xL e )d t x ( dL e )tf ( L
L (E )
E
E
• 证明: 考虑E=Rn的情形就可以了.只要证明
对简单函数结论成立就行了, 而这正是测度公
式所说的, 惟一要注意的就是
• 步骤: (1) 在一个闭方块中的零测集的像是 零测集; (2) 一般的零测集的像是零测集
9
闭方块中零测集的像
• 设 Rn中的开集,T为上的C1变换. 闭方块 Q, EQ为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记
=||T||Q,
由微分中值 x 不,y等 式Q ,T(x)T(y)x-y
积分学
多重积分的变 量替换
1
讨论的缘由
• 单积分或一重积分的变量替换(也 叫换元)的根据是微积分基本定理, 其在计算和证明中的作用是巨大的. 在证明了Fubini定理之后, 它在重 积分的讨论中也获得应用.但这还 是不够的！
• 多重积分的一般变量替换是一个十 分重要、有趣题目
2
基本思路
• 什么样的Rn到自身的变换是保集合 的可测性的?基本例子:正则变换
(yx)
7
记号复习：线性变换
• 设L: RnRn为线性变换, 在取定基(通常取标 准基)后, L可等同为一个n阶方阵(也记为L).
• 线性变换是可微变换; 如果还是非奇异(也叫 非退化的), 就是正则变换
• L(x)=Lx; L(x)=L; J(L)=det(L) • 线性变换的范数: ||L||=max{|Lx| : |x|=1} • 导数的范数: ||T||E=sup{||T(x)|| : xE}
T2 (x) x2
Tn (x) x2
T1 (x) xn
T2 xn
(x)
Txnn(x)
5
记号复习：差分的表示
• 设x, B(x,r) (r>0),yB(x,r).T Rn 在x点可微, 则
T ( y ) T ( x ) T ( x ) y ( x ) o y x ( y x )
• 其中T(y), T(x), y和x都是n维列向量, |y-x|是 n维欧氏范数(也叫长度或距离)
n
yx yixi2 i1
6
记号复习：差分矩阵表示
• 上页的式子的矩阵形式：
T1(y)T1(x) T1
x1
Tn(y)Tn(x)
Tn x1
T xxTnn1nyyn1 xx1no yx
8
正则变换是可测变换
• 可测变换: 把可测集映射成可测集的变换叫 做可测变换
• 正则变换是可测变换: 由正则变换把开集映 射成开集, 再由正则变换是单射, 因此在正 则变换下, 交的像等于像的交. 由任一个可 测集包含在可数多个开集的交中,并且两者 的差的测度为零.因此只要能证明零测集的 像还是零测集就行了
则称T为上的正则变换. • 结论: T()开集、T-1: T()也是正则
变换、且 x , T 1 ( T (x ) ) T (x ) 1
4
记号复习：导数矩阵
• 导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):
T1 (x) x1
DT(x)
T(x)
T2 x1
(x)
Tn (x) x1
T1 (x) x2
• 正则变换如何改变可测集的测度?
➢线性变换：讨论特征函数 ➢正则变换：讨论特征函数
• 非负可测函数和有积分函数的积分 变换公式
3
复习Rn上正则变换
• 定义:设Rn是非空开集, T Rn满足 下列条件:
➢T在上是单射； ➢T在上有一阶连续导数(即是C1的); ➢DT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)
12
可测集的像是可测集
• 设Rn中的开集,T为上的正则变换.E,
为可测集, 则T(E)也是可测集.
• 证明: 由E可测, 则存在可数多个开集Gk和零
测集Z, 有 E Gk \ Z
k1
注意T(Gk)是开集且 TETGk\TZ
k1
就得到结论.#
13
问题二
• 如果仅要求T是C1的, T还能把可测集映成可 测集吗？
• 其他类型的可测变换.
14
正则变换如何改变测度
• 基本结果：
– 测度
T(E)EJ(T)
– 积分
f fTJ(T)
T(E)
E
• 如何证明：
– 线性变换: 此时J(T)是常数
– 正则变换
15
线性变换测度公式
• 设L是Rn上的线性变换, ERn可测. 则L(E) 可测且|L(E)|=|det(L)| |E|. • 证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形
任k取=1,2,,E …由 |Ek |1 =C 0k,,存在k 1可Ck数 多开方n 块n C1k,
10
闭方块中零测集的像(续)
不妨设 Ck Q , 否则用CKQ替代CK.取 a(k) Ck 为
Ck的中心, 记Ck的边长为lk , 我们有
x C k,T x T a (k ) x a (k ) 因此 TC k Q nlk Ta(k) ,
n lk 2
Q nTa(k)
nnlk n
n
n C k
所以 T (E ) T C knn C k
k 1
k 1
11
零测集的像是零测集
• 设Rn中的开集,T为上的C1变换. E 为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明: 可以表示成可数多个闭方块的并以
及上面的结论，就可以得到所要的结论.#
– 对方块结论成立(利用线性变换的初等分解)， 学生自己写清楚
– 对开集结论成立(由第一步和测度的性质) – 对有界可测集结论成立 – 对一般可测集结论成立
16
线性变换Байду номын сангаас度公式(续)
• 有界可测集：取单调递减的开集列Gk和零测集Z,
E Gk \ Z
k1
注意|Gk||E|(k), |L(Gk)||L(E)|(k), 以及|L(Gk)|=|det(L)| |Gk|就得到结论 • 一般可测集: 取单调递增有界可测集列Ek,
E Ek
k 1
类似的步骤给出结论.#
17
线性变换的两个推论
• 推论1: Lebesgue测度在正交变换下是不变 的；
• 推论2: 设a>0, L=aI (位似变换,也叫伸缩变换) 则|L(E)|=an|E|.
18
线性变换积分公式
• 设L是Rn的可逆线性变换, E Rn可测. 是
L(E)上的可积函数. 则下列公式成立