二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r = ϕ (θ )
α ≤θ ≤ β,
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
β
o
D
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ (θ )
0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
Ω Ω1
其中Ω 1为Ω的z ≥ 0, y ≥ 0区域
例 计算 ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 + x − y 3 )dxdydz ,
Ω
其中Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z
命题
Ω
若积分区域 Ω关于x , y , z具有轮换对称性，则
Ω Ω
∫∫∫ F ( x , y, z )dv = ∫∫∫ F ( y, z , x )dv = ∫∫∫ F ( z , x , y )dv
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r = ϕ1 ( θ )
r = ϕ 2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ 1 (θ )
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
定义 2 若函数 F ( x1 , x 2 , x 3 , , x n ) ≡ F ( x 2 , x 3 , , x n , x1 ) ≡ ≡ F ( x n , x1 , , x n −1 ) 则称函数 F关于变量 x1 , x 2 , , x n 具有轮换对称性
命题
设区域 D关于 x , y具有轮换对称性，则
D
例 求(1) ∫∫ ( x + y )dσ ; ( 2) ∫∫ ( x − y )dσ ,
D D
其中 D由x ≥ 1, y ≥ 1, x 2 + y 2 = 2在第一象限所围图形
对称性
命题 设f ( x , y , z )在Ω上可积，且 D关于xy面对称。 若f ( x , y , z )关于z为奇函数，即 f ( x , y ,− z ) = − f ( x , y , z ), 则∫∫∫ f ( x , y , z )dΩ = 0
D
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sin θ + cos θ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y=1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫0 dθ ∫
2
π
1
D
1 sin θ + cosθ
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
区域特征如图
r = ϕ1 (θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ 2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ 1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
D
若f ( x , y )关于y为偶函数 , 即f ( x ,− y ) = f ( x , y ) 则∫∫ f ( x , y )dσ = 2 ∫∫ f ( x , y )dσ
D D1
其中D1为D的上半部分区域
例
2 2 3 x [ 1 + yf ( x + y )] dxdy , 其中 D 由 y = x , ∫∫ D
y
（ 1）
2
x + y =4
2
2
2
y
x2 + y2 = 4
D
o
2
（ 2）
−2
D
o
y
2
x
x
y
（ 3）
−2
2
x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 4 x
（4）
o
o
D
2 −2
D
4
x
x
例4 将二重积分 ∫∫ f ( x, y )dxdy 转化为二次积分
= D {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}
2
2
D
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0，y − 3 x = 0
所围成的平面闭区域. 解
y − 3x = 0 ⇒ θ 2 =
π
3
x 2 + y 2 = 4 y ⇒ r = 4 sinθ
6 x 2 + y 2 = 2 y ⇒ r = 2 sinθ
x − 3 y = 0 ⇒ θ1 =
例5 计算 ∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy ，其中D 是由中心在原点，
半径为a的圆周所围成的闭区域. 解
在极坐标系下
D： 0 ≤ r ≤ a ，0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ e
D
− x2 − y2
dxdy = ∫ dθ ∫ e
0 0
−a2
2π
a
−r 2
rdr
= π(1 − e
).
2 2 x + y = 2 y， 例6 计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其 D为由圆
区域特征如图
0 ≤ θ ≤ 2 π,
r = ϕ (θ )
D
0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
= ∫ dθ ∫
0
D
2πϕ (θ )源自0f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
∫∫ rdrdθ .
D
例3 将 ∫∫ f ( x , y ) dσ 化为在极坐标系下的二次 D 积分。
1 = ∫∫∫ ( F ( x , y , z ) + F ( x , y , z ) + F ( z , x , y ))dv 3 Ω
例 计算 ∫∫∫ ( x 2 + z 2 )dv， 其中 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1
Ω
§3 二重积分的变量变换
教学目的与要求： (1) 掌握重积分的变量变换方法 (2) 了解变量变换的证明思想 教学重点，难点： 重点：重积分的变量变换 难点：重积分的变量变换的证明
y = 1, x = −1所围闭区域， f为连续函数
对称性
命题 设f ( x , y )在D上可积，且 D关于原点对称。
D
若f ( − x ,− y ) = − f ( x , y ), 则∫∫ f ( x , y )dσ = 0 若f ( − x ,− y ) = f ( x , y ) 则∫∫ f ( x , y )dσ = 2 ∫∫ f ( x , y )dσ
v
o
x
∫∫
D
f ( x , y ) d x d y = ∫∫ f ( x ( u, v ), y( u, v )) J ( u, v ) d u d v
D′
x − y 例1 计算 I = ∫∫ cos( )dxdy. 其中 D 由 x + y = 1, x+ y D x = 0 及 y = 0 所围成．
∫∫∫
Ω
D : 0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2 − x , 2 z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dv = ∫∫ dσ ∫ f ( x , y , z )dz = ∫ dx∫
0 D 2 z1 ( x , y ) 2− x 2 2 x 1
dy∫ f ( x , y , z )dz .
解
令 u = x − y, v = x + y,
y
x+ y=1
u+v v−u 则x= , y= . 2 2
D → D′, 即 x = 0 → u = − v;
D
o v
u = −v
x
v =1
y = 0 → u = v; x + y = 1 → v = 1.
D′
u=v
o
u
例2 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y = α x , y = β x
2. D关于直线 y = x对称。记 D位于直线 y = x 上半部分区域为 D1。 (1)当f ( x , y ) = f ( y , x )时， ∫∫ f ( x , y )dσ = 2∫∫ f ( x , y )dσ
D D
( 2)当f ( x , y ) = f ( y , x )时 ∫∫ f ( x , y )dσ = 0
所围区域 D 的面积. (0 < m < n, 0 < α < β ) y y2 解 令 u= , v= x x
y
y=β x y =α x 2 y = nx D y 2 = mx
β
v
D′
O
x
α O m
n
u
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,