选择如图所示的路径
y
L1 : y 0 x由0到 1
1
A
L2 : x 1 y由0到 1
L
L2
I ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
o L1 1 x
[ ]( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
L1
L2
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23
0
0
15
由此,可以求某个全微分的原函数，并且原函数不唯一
如何求u( x, y)使du( x, y) Pdx Qdy？ y D( x0, y)
• M(x, y)
A • L1
则称曲线积分 Pdx Qdy在G内 L
o
x
与路径无关.即只与起点和终点有关. 否则与路径有关.
显然在G内L Pdx Qdy与路径无关
任意的闭曲线 C G.
C Pdx Qdy 0,
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
ARB
BSA
P dx Q dy 0,
ARBSA
所以 P dx Q dy P dx Q dy .
ARB
ASB
A
R
S B
图 21 19
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y), 使得
du P dx Qdy , 因此 P( x , y) ux( x , y), Q( x , y) uy( x , y). 于是由
P y
uxy ( x,
y)
,
Q x
uyx (
x,
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
一点处都有 ux y ( x, y) uyx ( x, y)
即
P y
Q . x
例 5.计算I ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy，其中L
L
为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线
y
sin
x.
解： 因为 P x2 2xy， Q x2 y4，
2
则 P 2x，Q 2x，
y
y sin x
y
x
2
即 P Q 在 xoy 平面上成立.
y x
1
A
L
又开区域 xoy 平面是一个单连通域.
且函数P( x, y), Q( x, y)在 xoy平面内 o
x
1
具有一阶连续偏导数.
故曲线积分在xoy面上与路径无关.
即在 D 内有 du P dx Qdy;
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ARB 与 ASB 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得
P dx Q dy P dx Q dy
ARB
ASB
P dx Q dy P dx Q dy
( 0,0)
0
0
2
多元函数的原函数：
若P , Q满足定理21.12的条件,
二元函数u( x, y) M(x,y) Pdx Qdy (x,y) Pdx Qdy，
M0 ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
具有性质:du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以我们称u( x, y)为P( x, y)dx Q( x, y)dy的一个原函数.
兰亭序 之 高数版
数分难学 高数如高山流水 函数数列 何时也为我收敛 开和闭 区间易理解 却难求你极限 映射也 映不进心间
函数连续 却也不一定可导 然而可导 竟又一定会可微 导数高阶 问莱布尼茨 他到底是个谁 有间断点 而我不曾觉
费马初现 我渐渐入深渊 罗尔浅笑 顿觉头晕目眩 拉格朗日 落井下石最会 而我独缺 对柯西的了解
水笔疾飞 草稿顷刻间湮灭 铃声响却 佩亚诺才刚出现 展开没 泰勒很复杂 麦克劳林简约 求极限 洛必达无愧
人事纷飞 单调改用求导解 凸还是凹 目测早已不精确 试卷最黑 题设常千山万水 总被蒙骗 驻点拐点 到底谁是谁
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选择新路径应注意：
（1）新路径的起点与终点不变,
（2）新路径 G, （3）一般选与坐标轴平行的新路径.
例6. 设具曲有线连积续分的导Lx数y2d，且 x y(0()x)d0y.与路径无y 关，其中( x)
计算
( 1 ,1 )
xy2dx y ( x)dy.
(0,0)
(1,1)
解：P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
则I Pdx Qdy Pdx Qdy
Ll
l
补充曲线的原则：
1.尽可能与x、y轴平行； 2.与原来的图形围在一起为D或D
.
3.平面上曲线积分与路径无关的条件
（一）曲线积分与路径无关的定义 y
如果在区域G内对任意的 L1 , L2有
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
G
L2 • B
P 2 xy, Q [ y( x)] y( x), o
y
x x
1x
由已知知P Q ，即 y(x) 2xy ( x) x 2 C
y x
由(0) 0，知C=0, 则 ( x) x2 选择如图所示的路径
故原式= (1,1) xy2dx yx2dy
1
0dx
1 ydy 1 .
公式(1)称为格林公式.
注意定理使用的条件.
有向性； 连续性； 封闭性.
利用格林公式计算 I Pdx Qdy L
L闭 合
L
:
L非 闭
1.满足连续性的条件，则可直接用格林公式.
2.不满足连续性的条件，则添加曲线挖去洞眼.
则I Pdx Qdy Pdx Qdy
Ll
l
补充曲线使其闭合后用格林公式.
费马初现 我渐渐入深渊 到底等谁 伯努利傅里叶 几人痴醉 却恨透了数学 我最可悲 只爱上你的美
复习
定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上 有连续的一阶偏导数, 则有
D
Q x
P y
d
L Pdx
Qdy ,
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
下四个条件等价:
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0; (ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分,