T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
21
4. 非正弦周期电路的平均功率
u (t ) U 0 U km cos( k1t uk )
i (t ) I 0 I km cos( k1t ik )
k 1

k 1
1 T 1 T P pdt uidt T 0 T 0 利用三角函数的正交性，得：
f (t ) a0 [a1 cos(1t ) b1 sin( 1t )] [a2 cos( 21t ) b2 sin( 21t )] [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
k=0,1,2,…
f (t ) a0 [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数
§13-3 有效值、平均值和平均功率
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号在 Nhomakorabea产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方
面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化 的分布图称为信号的频谱。 振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
Um V
5
10
10 10 10 10 2 3 4 5
2 3 4 5
o
k
15
锯齿波电压的幅度谱
周期性信号频谱的特点： 1）离散性：离散的线状谱
U o (1)
R 89.4526.57 V U S(1) R jX C (1)
24
三次谐波单独作用： 300 V U
S( 3)
jXC(3) + R U o(3) _
X C ( 3)
1 3000 2 10 6
+ U S( 3) 166.67 _
2）若R>>1/C，则输入信号无衰减地传输到输出端
25
例2 已知： R 20, L 1mH,
C 1000pF, I m 157μA, T 6.28μS
iS
求电压u（计算到3次谐波）。 解
I m 2I m 1 iS (sin t sin 3t ) 2 3
U o ( 3)
R 29.599.46 V U S ( 3) R jX C (3)
uo 126.48 cos(1000t 26.57 ) 41.84 cos(3000t 9.46 ) V 2 2 89.45 29.59 PP 8.88W 1P 3 3 3 10 10 1）输出信号中无直流分量；
求i 的有效值。
i i1 i2 i3 i4 先求i2 i3的有效值
I 40 4 - 60 6.93 30 A I 2 3
I 62 6.932 42 10A
20
3. 非正弦周期信号的平均值
设 i (t ) I 0
I
k 1
k 1 2 k 2 k

2
0
f (t ) sin k1td (1t )
a bk k a b cos( k1t ) sin( k1t ) 2 2 2 2 ak bk ak bk
8
f (t ) a0
k 1

a b k k a b cos( k1t ) sin( k1t ) 2 2 2 2 ak bk ak bk
u1 5000 cos(10 t 91.15 ) mV 5000 sin( 106 t 1.15 ) mV

2
0
sin ktd (t ) 0

2
0
cos ktd (t ) 0
k为整数
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。

2
0
sin ktd (t )
2

0
2
0
cos 2 ktd (t )
3）三角函数的正交性

2
0 2
cos kt sin ptd (t ) 0, cos kt cos ptd (t ) 0 sin kt sin ptd (t ) 0

km
cos( k1t k )
则其平均值定义为：
1 T 1 T I av i dt ( I 0 i (t )dt 直流分量 ) T 0 T 0 例： i(t ) I m cos t 2 1 T I av I m cos t dt I m 0.637 I m T 0 1 T 1 I 0 I m cos tdt 0 I I m 0.707 I m T 0 2
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t)
-
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u ( t)
t
o
T
t 方波电压
脉冲电流
5
2. 非正弦周期电路的分析
把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。
13
2. 波形对称性
f(t)
偶函数： f (t ) f (t )
bk 0
－T/2
f(t)
T/2 t
奇函数： f (t ) f (t )
ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
奇谐波函数： f (t ) f (t T ) 2 a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱
2）求直流分量和各谐波分量单独作用下的响应； 直流分量：C→开路，L→短路
jk1C 3）把各响应的瞬时表达式叠加得总响应。
23
谐波分量： Z C ( k )
1
，Z L ( k ) jk1 L
例1 已知：R=1k，C=2F，
C + +
uS 10 141.40 cos1000t 42.42 cos 3000t V


利用三角函数的正交性得：
2 I I I 02 km k 1 2
2 2 I I0 I12 I 2
周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量
有效值平方和的平方根。
19
例
已知 i1 6A
i1 i2
i3
解
i
i4
i2 4 2 cos tA i3 5.66 cos(t 60 )A i4 4 2 cos(3t 45 )A
k 1
7

f (t ) a0 [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
式中：
2 1 T 1 T a0 f (t )d t T 0 1 2 ak f (t ) cos k1td (1t )
k 1


1
0
bk
f (t ) a0
2 k 2 k
令：
2 A0 a0，Akm ak bk2
ak bk cos k ，sin k Akm Akm bk k arctan ak
f (t ) A0 Akm cos k cos( k1t ) sin k sin( k1t )
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波
分量的代数和。
10
例
周期性方波信号的分解
Im iS (t ) 0 0t T 2
iS
Im
T/2 T
解