金融市场发生了革命性变化。 现代金融理论告诉我们， 金融市场活动的核心是风险评 估和风险定价。 然而， 风险评估和风险定价离不开对资产收 ! （E+38/535/F） 的度量。 组合选择理论首次以收益率的 益波动率 方差来度量波动率， 从此使方差成为了金融数据波动率的标 准表达形式。 根据组合选择理论， 投资组合收益率的波动率 并可通 取决于组合内各项资产收益率的方差 A 协方差矩阵， 过方差 A 协方差矩阵进一步推导出最优资产组合。 资本资产 （49GH） 定价模型 进一步继承和发展了组合选择理论。 49GH 表明， 在市场均衡状态下， 投资者承担风险所获得的回报取 即该资产和市场组合的协方差跟市场组 决于资产的 " 系数， 合的方差之比。 著名的 >38?@ A B?C+3-D 期权定价公式以标的 资产波动率的形式给出期权和其他衍生产品的价格， 从而解 决了期权定价的难题。 因此， 准确地度量波动率是验证和应 用三大现代金融理论的基础。 风 险管理技 术发生 了革 命性变 !" 世纪 %" 年 代以来 ， （ ） 化。 以 E8* 在险值 模型为代表的现代风险管理技术越来越 广泛地应用到银行和其他金融机构的风险管理活动中。 收益 （ 方差 A 协方差矩阵 ） 的波动率 也是 E8* 模型的基础性输入 数据之一。 总之， 波动率的度量已成为现代金融市场活动的 关键， 是金融经济学研究者和金融市场从业人员共同关注的 问题。 $ 二 & !" 世纪对波动率时变性的研究 直到 !" 世 )" 年代， 金融市场的研究者和从业者都使用 波动率恒定的模型。 在这种传统的波动率统计模型中， 波动
O" 其中 J )" K 服从正态白噪声过程， 且均值为 # ， 方差 !" N )" *9 " ， 表示为： 为 9； *" 为 !" 的条件方差， *" N B,7 % !" L ! " ’ N "# P "9 !" " Q 9 P … P "+ !" " Q +
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中图分类号： J)’"
!""’ 年 (" 月 ) 日瑞典皇家科学院将 !""’ 年度诺贝 （*+,-./ 尔经济学奖授予了美国经济学家罗伯特・恩格尔 （4356- 7.812-.） 教授和英国经济学家克莱夫・格兰杰 0123-） “自回归条件异方差 （9*4:） ” “共 教授， 以表彰他们分别用 和 ” （4+51/-2.8/5+1） 两种新的统计方法分析经济时间序 同 趋势 列， 对宏观经济学和金融经济学做出的杰出贡献。 宏观经济学和金融经济学的实证研究在很大程度上依 赖经济时间序列。 格兰杰教授和恩格尔教授在统计方法上的 这两个贡献加深了经济学界对经济时间序列两个核心特征 —— — 非静态和随时间变化的波动率的理解， 并且得到了广泛 的应用。 格兰杰教授的共同趋势统计方法主要应用于宏观经 济学的实证研究， 特别是用于检验经济理论的假设前提和变 量关系。 恩格尔教授的 9*4: 模型成为金融市场上资产定价 和投资分析不可缺少的工具。 本文主 要介绍恩格尔教授的 模型结构及其对金融经济学的学术 9*4: 模型的产生背景、 价值。
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在 A+CD 模 型 中 ， 假 设 在 时 刻 8 观 察 到 随 机 向 量 % !"# 其中 $" 是对 !" 有解释力的变量向量。 因变量 ! " 可用下 $" ’ H， 面模型表示： %9’ ! " % I J ! " & $ " K ’ !8 这是一个常见的常数项加上随机误差项的模型形式， 其 中 I J !" & $" K K 是 !" 的条件均值； !" 是均值为零且不相关的随 （ !" ! ( ） 且对于 " " ( 时 I 机误差项， 即 I J !8 L M 8 K N I !" N # ， N K 条件均值 I J !" & $" 一般采用参数形式。 当估计其参数时， #。 通常假设随机误差项 !" 的无条件方差是恒定的。 恩格尔 % I-?15， 在这个假设 9&@" ’ 考虑了一个新的假设。 — 如果存在—— — 是恒 中， 虽然随机误差项 !" 的无条件方差—— 定的， 但条件方差是随时间变化的。 恩格尔假设 !" 能分解为
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与原始的 A+CD 模型相比， 尽管 GA+CD 模型没有太多 理论上的创新， 但它却是一个十分有用的技术方法。 实际上， （U N V N 9 ） 已成为金融时间序列分析中应 一阶 GA+CD 模型 （9 ， 用最广泛的 A+CD 族模型。 拥有简洁的形式， 只 GA+CD 9） 包括三个参数： %$’ *" % "# ’ "9 !" " - 9 ’ #9 *" - 9 （9 ， 只有一个误差平方项和一个自回归项。 但 GA+CD 9） 通过递推可发现， 它实际等价于无穷阶的 A+CD 过程， 这就 （ +） 当阶数 + 增加时产生的参数过多的问题。 避免了 A+CD 经验数据也表明， 低阶 GA+CD 模型的拟合程度与一个有线 形衰减权重的高阶 A+CD 模型一样好甚至更好。 % 三 ’ 均值 A+CD 和多变量均值 GA+CD
在金融经济学中， 波动率 ! 波动率是指随机变量的离散程度。 通常用方差或标准差表示。 当然， 方差或标准差并非离散程度的惟 一形式， 其他指标比如均值绝对误差也可用于衡量离散程度。
一、 背景简介
$ 一 & 度量波动率的重要性 有三个重要金融理论分别获得了 !" 世纪 %" 年代以来， 诺贝尔经济学奖—— — 马克维茨 (%;! 年提出的组合选择理论 （(%%" 年经济学奖 ） ， 夏普 (%<# 年提出的资本资产定价模型 （ 与组合选择理论共同获得 (%%" 年经济学奖 ） ， 以及布莱克 （(%%= 和舒尔茨 (%=’ 年提出的 >38?@ A B?C+3-D 期权定价公式 ） 年经济学奖 。 这三大理论奠定了现代金融理论的基础， 并使
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其中， 为保证 ! " 为 " 时刻的信息集， ! " N J !" - , R , $ 9 K 。 这就 条件方差始终为正 S 要求 "# T #S 且 ", $ #S , N 9S … S +。 （ +） 是恩格尔提出的自回归条件异方差模型， 即 A+CD 。 在模 型中， 条件方差 *" 表示为过去随机误差项的平方值的线性函 数。 换句话说， 过去的随机误差项构成了今天的条件方差的 信息集。 这个革命性的模型使解释方差随时间运动的系统特 “ 尖峰 ” 点成为可能， 并允许 分布形态的存在。 在 9&@" 年的经 典论文 中， 恩 格尔还 提出 了 A+CD 模型 的最大 似然 估计方 法， 以及对非 A+CD 假设的拉格郎日检验方法。 % 二 ’ GA+CD 模型 （ 比如每日或每 实践发现， 观察频率较高的收益率序列 周序列 ） 经常表现出一种相对缓慢衰减的自相关趋势。 这就 在 A+CD 论 要求 A+CD 模型应有一个相对较长的滞后结构。 文公开发表后不久， 恩格尔的学生蒂姆・博勒斯莱 （F.1157>15B， 通过在公式 % " ’ 右边加入条件方差 *" 的一 9&@3 ） 并称其为广义的 A+CD 模型 个时滞结构来修正 A+CD 模型， （GA+CD） 。 并表现出一个 GA+CD 模型用少量参数就能建立， （U， 的形式如下： 缓慢衰减的 !" " 自相关趋势。 GA+CD V） " " … *" % "# ’ "9 ! " - 9 ’ "+ ! " - + ’ #9 *" - 9 ’ … ’ #.*" - .
收稿日期： !""# A "! A !’ 作者简介： 臧健 $ (%=’ A & I 男， 北京人， 中国人民大学财政金融学院博 士研究生， 研究方向： 金融工程和风险管理。
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金融教学与研究
（一阶矩为均值， 率体现在随机误差中， 而随机误差的各阶矩 二阶矩为方差 ） 是恒定的， 不随时间变化。 但是， 波动率恒定 （简 内含一个很强的假设， 这就是收益率要符合独立同分布 。 独立假设保证了收益率变动在任何时点上彼此不 称 () () *） 相关； 同分布假设保证了收益率服从同一概率分布。 如果把 经济时间序列看作随机过程， () () * 假设构成了收益率符合随 （+,-*./ 0,12） 模型的基础。 机游走 然而， 有很多证据都表明资产收益率的 () () * 假设过于 严格。 早在 "# 世 3# 年代， 一些经济学家就开始注意到波动 （4,-*5167.8， 率可能随着时间发生很大的变化。 曼德布罗特 “ 大的波动倾向于伴随着大的波动—— 就曾指出， — 或正 9&3! ） 向或反向的—— — 而小的波动倾向于伴随着小的波动 ” 。 这种 （:.1,8(1(8; <1=>857(-?） 现象后来被称为波动性的簇聚 效应， 这 表明收益率的连续变化不是完全独立的， 而是具有一定的自 相关性。 另一个证据是收益率的分布具有尖峰形态， 即收益 率的分布与正态分布相比具有更厚的尾部。 一种解释是收益 率的实际分布确实含有较粗的尾部， 用正态分布近似是不合 适的； 另一种解释是收益率的实际分布不是固定不变的， 而 是随时间变 化而变化， 因而分 离出大量有 别于正态 分布的 “异常 ” 观察值。 这些证据都表明， 波动率不是恒定不变的， 而 是随着时间变化而变化的。 % 三 ’ 恩格尔的贡献 尽管金融经济学家很早就知道金融时间序列的波动率 有簇聚效应， 并且边际分布具有尖峰形态， 但却一直没有建 立能够反映这种特点的时间序列模型。 恩格尔在 "# 世纪 @# 年代早期开始了波动率模型的研究， 通过研究， 他成功地突 破了传统的时间序列统计分析方法， 开创性地建立了随时间 变化的波动率模型， 从而有力地推动了金融经济学的发展。 最早的随时间变化波动率模型出现在恩格尔 9&@" 年的 一篇重要论文中。 在这篇里程碑式的论文中， 他提出了一个 （A=8.75?75>>(B5 C.-*(8(.-,1 新概念， 称为自回归条件异方差 ， 缩 写为 A+CD。 在 A+CD 模 型 中 ， 恩 格尔 D5857.>25*,>8(<(8;） 假设收益率的随机误差的方差在某一段时间内系统性地取 （小的 ） 决于以前发生的随机误差， 从而一个较大的 误差会跟 （ 小的 ） 随着一个较大的 误差。 用术语来说， 随机变量显示出 自相关条件异方差性。 在接下来的工作中， 恩格尔与他的学生和同事合作在几 个方向上发展了这个模型。 最著名的扩展就是他的学生蒂姆 （E(/ F.1157>15B） 于 9&@3 年提出的广义 A+CD 模 ・博勒斯莱 （GA+CD） 。 在 GA+CD 模型中， 随机误差的方差在某一期 型 间内不仅取决于以前的随机误差， 而且取决于前一期方差。 这个推广被实践证明十分有用， GA+CD 模型已成为当前投 资者和金融机构最常用的模型。 "# 年来， A+CD 模型及其推 广和衍生形式已成为金融市场研究人员、 银行和其他金融机 构不可或缺的工具。 恩格尔教授一直保持在波动率模型研究 的前沿， 对这一领域做出了杰出贡献。 然后介绍 下面， 我 们 首 先 介 绍 最 基 本 的 A+CD 模 型 ， 模型的几种重要的推广和衍生形式， 最后说明 A+CD A+CD 模型的理论意义。 % 一 ’ A+CD 模型